与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。 具体的には、以下の二つの場合について $X$ を求めます。 (1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。 具体的には、以下の二つの場合について $X$ を求めます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列方程式 $AX = B$ を解くには、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在する場合、$X = A^{-1}B$ を計算します。もし逆行列が存在しない場合は、拡大行列 $(A|B)$ を行基本変形して解を求めます。問題文に「掃き出し法」と書いてあるので、後者の方法で解きます。

(1) の場合:

拡大行列 $(A|B)$ は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & | & 1 & -1 \\ 3 & 3 & 2 & | & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を-2倍して2行目に足し、1行目を-3倍して3行目に足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & -3 \\ 0 & -3 & -1 & | & -2 & -2 \end{pmatrix}$

2行目を-3/2倍して3行目に足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1/2 & | & -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$

3行目を2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 5 \end{pmatrix}$

3行目を足して2行目に加え、3行目を引いて1行目から引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 2 & -4 \\ 0 & -2 & 0 & | & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 5 \end{pmatrix}$

2行目を-1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 5 \end{pmatrix}$

2行目を-2倍して1行目に足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 5 \end{pmatrix}$

したがって、

$X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

(2) の場合:

拡大行列 $(A|B)$ は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & | & -4 & -2 \\ 1 & 1 & -3 & | & -1 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を-1倍して3行目に足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & | & -4 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 & -1 \end{pmatrix}$

2行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 & -1 \end{pmatrix}$

2行目を-1倍して3行目に足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & | & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$z = t$ とおくと、$y - 2z = -2$ より $y = 2t - 2$、$x - z = 1$ より $x = t + 1$ となります。

したがって、$X = \begin{pmatrix} t+1 & a \\ 2t-2 & b \\ t & c \end{pmatrix}$の形式となり、$AX = B$を満たすには、列ベクトル毎に連立一次方程式を解く必要があります。

列ベクトルをそれぞれ比較すると$X = \begin{pmatrix} t+1 & 2 \\ 2t-2 & -1 \\ t & 0 \end{pmatrix}$

第一列から$x+z = 1$と$x = t+1$と$z = t$。

第二列から$2z = 2$と$z = t$。

つまり$AX=B$を満たす解は無限に存在する。

例えば、$t=0$のとき、$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $X = \begin{pmatrix} t+1 & 2 \\ 2t-2 & -1 \\ t & 0 \end{pmatrix}$ $(t$は任意の実数) 例えば、$t=0$のとき、$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$