2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 6$ において、$-2 \leq x < 1$ の範囲で $y$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 6$ において、$-2 \leq x < 1$ の範囲で $y$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 4x + 6 = -2(x^2 + 2x) + 6$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 6 = -2((x+1)^2 - 1) + 6$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 6 = -2(x+1)^2 + 8$

したがって、この2次関数の頂点の座標は $(-1, 8)$ であり、上に凸な放物線です。

次に、定義域 $-2 \leq x < 1$ における $y$ の値を考えます。

$x = -2$ のとき、

$y = -2(-2+1)^2 + 8 = -2(-1)^2 + 8 = -2 + 8 = 6$

$x = -1$ のとき (頂点)、

$y = 8$

$x = 1$ のとき、

$y = -2(1+1)^2 + 8 = -2(2)^2 + 8 = -8 + 8 = 0$

ただし、$x < 1$ であるので、$x=1$ を含みません。

したがって、$-2 \leq x < 1$ において、

$x = -1$ のとき、最大値 $8$ をとります。

$x=-2$のとき、$y=6$をとります。

$x$が1に近づくとき、$y$は0に近づきます。

$x < 1$ より、$y$ が $0$ になることはありません。

よって、 $6 \leq y < 8$ となります。

3. 最終的な答え

$6 \le y \le 8$

定義域が $-2 \le x < 1$ なので、$x = -2$ のときは $y = 6$ を含み、$x = 1$ のときは $y = 0$ を含みません。

頂点 $x = -1$ を含んでいるので $y = 8$ を含みます。

したがって、$6 \le y < 8$ ではなく、$6 \le y \le 8$です。

最終的な答え：

$6 \leq y \leq 8$