$y$軸と直線 $y = -1$ を漸近線とし、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

$y$軸と直線 $y = -1$ を漸近線とし、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

$y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形の関数において、$y$軸が漸近線であることから、$cx + d = 0$ となる $x$ の値が存在しません。つまり、$d = 0$ である必要があります。したがって、関数は $y = \frac{ax + b}{cx}$ となります。

次に、$y = -1$ が漸近線であることから、$\lim_{x \to \infty} \frac{ax + b}{cx} = -1$ である必要があります。これは、$\frac{a}{c} = -1$、つまり、$a = -c$ を意味します。したがって、関数は $y = \frac{-cx + b}{cx}$ となります。

さらに、このグラフが点 $(1, 2)$ を通ることから、 $x = 1$, $y = 2$ を代入すると、$2 = \frac{-c + b}{c}$ となります。これを変形すると、$2c = -c + b$ となり、$b = 3c$ が得られます。

したがって、関数は $y = \frac{-cx + 3c}{cx} = \frac{-x + 3}{x}$ となります。

選択肢の中から、この形に一致するものを探します。

3. 最終的な答え

3番目の選択肢 $y = \frac{-x + 3}{x}$ が条件を満たします。