不等式 $x-3 \ge \frac{2x}{x-2}$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $x-3 \ge \frac{2x}{x-2}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、両辺に $x-2$ を掛けますが、$x-2$ の符号によって不等号の向きが変わるため、場合分けが必要です。また、分母が0にならないように、$x \neq 2$であることに注意します。

場合1: $x-2 > 0$ つまり $x > 2$ のとき

両辺に $x-2$ を掛けると、

$(x-3)(x-2) \ge 2x$

$x^2 - 5x + 6 \ge 2x$

$x^2 - 7x + 6 \ge 0$

$(x-1)(x-6) \ge 0$

よって、$x \le 1$ または $x \ge 6$となります。

$x > 2$の条件と合わせると、$x \ge 6$となります。

場合2: $x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき

両辺に $x-2$ を掛けると、不等号の向きが変わるので、

$(x-3)(x-2) \le 2x$

$x^2 - 5x + 6 \le 2x$

$x^2 - 7x + 6 \le 0$

$(x-1)(x-6) \le 0$

よって、$1 \le x \le 6$となります。

$x < 2$の条件と合わせると、$1 \le x < 2$となります。

場合3: $x-2=0$ つまり $x=2$ のとき

分母が0となるため、そもそも定義されません。

場合1と場合2の結果を合わせると、解は $1 \le x < 2$ または $x \ge 6$となります。

3. 最終的な答え

$1 \le x < 2$ または $x \ge 6$