与えられた恒等式 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}\right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた恒等式 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}\right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた恒等式を利用して、各項を分解します。

$S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

それぞれの項に恒等式を適用します。

$\frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{(3(1)-2)(3(1)+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3(1)-2} - \frac{1}{3(1)+1}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right)$

$\frac{1}{4 \cdot 7} = \frac{1}{(3(2)-2)(3(2)+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3(2)-2} - \frac{1}{3(2)+1}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right)$

$\frac{1}{7 \cdot 10} = \frac{1}{(3(3)-2)(3(3)+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3(3)-2} - \frac{1}{3(3)+1}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right)$

$\dots$

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)$

これらの和をとると、多くの項が打ち消しあい、次のようになります。

$S = \frac{1}{3} \left( \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right) \right)$

$S = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{3n+1}\right)$

$S = \frac{1}{3} \left(\frac{3n+1-1}{3n+1}\right)$

$S = \frac{1}{3} \left(\frac{3n}{3n+1}\right)$

$S = \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{3n+1}$