2次関数 $y = mx^2 + (m+1)x + m$ において、$y$ の値が常に正となるときの定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = mx^2 + (m+1)x + m$ において、$y$ の値が常に正となるときの定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = mx^2 + (m+1)x + m > 0$ が常に成り立つ条件を考えます。

* **ステップ1: $m=0$ の場合を検討する**

$m=0$ のとき、$y = (0+1)x + 0 = x$ となり、$y$ は常に正ではありません。例えば、$x=-1$ のとき、$y=-1$ となり負の値をとります。したがって、$m=0$ は条件を満たしません。

* **ステップ2: $m \neq 0$ の場合を検討する**

$m \neq 0$ のとき、$y = mx^2 + (m+1)x + m$ は2次関数です。$y > 0$ が常に成り立つためには、以下の2つの条件が必要です。

* 条件1: 2次関数の係数 $m > 0$ (下に凸のグラフ)

* 条件2: 判別式 $D < 0$ (グラフが $x$ 軸と交わらない)

判別式 $D$ は以下のように計算されます。

$D = (m+1)^2 - 4m^2$

$D = m^2 + 2m + 1 - 4m^2$

$D = -3m^2 + 2m + 1$

$D < 0$ より、

$-3m^2 + 2m + 1 < 0$

$3m^2 - 2m - 1 > 0$

$(3m + 1)(m - 1) > 0$

よって、$m < -\frac{1}{3}$ または $m > 1$

* **ステップ3: 2つの条件を組み合わせる**

条件1 ($m > 0$) と条件2 ($m < -\frac{1}{3}$ または $m > 1$) を満たす $m$ の範囲を求めます。

$m > 0$ と $m < -\frac{1}{3}$ を同時に満たす $m$ は存在しません。

$m > 0$ と $m > 1$ を同時に満たす $m$ は $m > 1$ です。

したがって、$m > 1$

3. 最終的な答え

$m > 1$