与えられた二次不等式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k-1 < 0$ の解がすべての実数であるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次不等式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k-1 < 0$ の解がすべての実数であるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次不等式の解がすべての実数であるための条件を考えます。

まず、$k-1 = 0$ のとき、つまり $k=1$ のとき、不等式は一次不等式になるので、すべての実数 $x$ に対して成り立つことはありません。したがって、$k-1 \neq 0$ である必要があります。

二次不等式の解がすべての実数であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(1) 二次の係数 $k-1 < 0$ (上に凸)

(2) 判別式 $D < 0$ (実数解を持たない)

条件(1)より、

$k-1 < 0$

$k < 1$

条件(2)より、判別式 $D$ は

$D/4 = (k+1)^2 - (k-1)(2k-1) < 0$

$k^2 + 2k + 1 - (2k^2 - 3k + 1) < 0$

$k^2 + 2k + 1 - 2k^2 + 3k - 1 < 0$

$-k^2 + 5k < 0$

$k^2 - 5k > 0$

$k(k-5) > 0$

この不等式を解くと、$k < 0$ または $k > 5$ となります。

条件(1)と条件(2)を同時に満たす $k$ の範囲を求めます。

$k < 1$ かつ ($k < 0$ または $k > 5$) なので、$k < 0$ が求める範囲となります。

3. 最終的な答え

$k < 0$