$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$\frac{x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4}{x^4}$ および $x^4 + x^3 + x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} + 1$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$\frac{x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4}{x^4}$ および $x^4 + x^3 + x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} + 1$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4}{x^4}$ を簡略化します。

$\frac{x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4}{x^4} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

$x + \frac{1}{x} = 3$ が与えられているので、これから $x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$3^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$

$7^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 49 - 2 = 47$

次に、 $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

$3^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(3)$

$27 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 9$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9 = 18$

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ の値を求めるために、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$ の両辺に $x^2$ をかけます。

すると、$x^4+x^3+x^2+x+1$の形にするのが難しいことがわかります。

次に、$x + \frac{1}{x} = 3$ より $x^2 - 3x + 1 = 0$ を得ます。この解は $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ です。

$x + \frac{1}{x} = 3$, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$, $x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ を計算することを考えます。

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

問題の2つ目の式は、$x^4 + x^3 + x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} + 1$

この式は、$(x^4 + \frac{1}{x^4}) + (x^3 + \frac{1}{x^3}) + (x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) + 1 = 47 + 18 + 7 + 3 + 1 = 76$

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$の値を求めることを考えます。

$x^2 - 3x + 1 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. 任意の$x$を代入して計算することは現実的ではありません。

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$を$x^2 -3x + 1$で割るとどうなるかを考えます。

$x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+4x+12)(x^2-3x+1)+25x-11$

$x^2-3x+1=0$なので、$x^4+x^3+x^2+x+1 = 25x - 11$

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1=25x-11$

$\frac{x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4}{x^4}=25x-11$

しかし、 $x + \frac{1}{x} = 3$　から、$\frac{x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4}{x^4} = 25x - 11$ を導くことは、非常に困難です。

$x+\frac{1}{x} = 3$より$x^2+1=3x$,両辺に$x^2$をかけると$x^4+x^2 = 3x^3$.

$x^4 = 3x^3-x^2$

$x^4+x^3+x^2+x+1=3x^3-x^2+x^3+x^2+x+1=4x^3+x+1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4}{x^4} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

$x^4 + x^3 + x^2 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} + 1 = 76$