$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を $m$ とする。$m = 5$ のとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を $m$ とする。$m = 5$ のとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 2a^2 = (x - a)^2 - a^2 + 2a^2 = (x-a)^2 + a^2$

この関数のグラフは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値を考えます。

(i) $a < 0$ のとき：定義域内で $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x=0$ で最小値をとります。

$m = y(0) = 2a^2 = 5$ より $a^2 = \frac{5}{2}$。$a < 0$ なので $a = -\sqrt{\frac{5}{2}} = -\frac{\sqrt{10}}{2}$。しかし、$a$ は正の定数という条件に反するので、この場合は不適です。

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき：軸 $x = a$ が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$m = y(a) = a^2 = 5$ より $a = \pm \sqrt{5}$。$0 \le a \le 1$ を満たすものはないので、この場合は不適です。

(iii) $a > 1$ のとき：定義域内で $x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x=1$ で最小値をとります。

$m = y(1) = 1 - 2a + 2a^2 = 5$ より $2a^2 - 2a - 4 = 0$。$a^2 - a - 2 = 0$ となるので、$(a - 2)(a + 1) = 0$。よって、$a = 2, -1$。$a > 1$ なので $a = 2$。

したがって、$a=2$ が条件を満たす解となります。

3. 最終的な答え

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