$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を $m$ とする。 (ア) $ < a \le $ (イ) のとき、$m=a^2$ (イ) $ < a $ のとき、$m =$ (ウ) $a^2 -$ (エ) $a +$ (オ) ア、イ、ウ、エ、オに当てはまる数字を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を $m$ とする。

(ア) $< a \le$ (イ) のとき、$m=a^2$

(イ) $< a$ のとき、$m =$ (ウ) $a^2 -$ (エ) $a +$ (オ)

ア、イ、ウ、エ、オに当てはまる数字を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ を平方完成する。

$y = (x - a)^2 + a^2$

この関数の軸は $x=a$ である。定義域は $0 \le x \le 1$ である。

(ア) $< a \le$ (イ) のとき、$m = a^2$ であることから、軸 $x=a$ が定義域内にあることがわかる。したがって、$0 < a \le 1$ である。なぜならば、$x=a$ で最小値を取り、$a^2$ となるからである。よって、(ア) $= 0$、(イ) $= 1$。

(イ) $< a$ のとき、軸 $x=a$ が定義域よりも右側にある。

$1 < a$ のとき、定義域の左端 $x=0$ で最小値をとる。

$m = 0^2 - 2a(0) + 2a^2 = 2a^2$

したがって、$m = 2a^2$ となる。

問題文の形に合わせると、

$m =$ (ウ) $a^2 -$ (エ) $a +$ (オ)

$m = 2a^2 - 0a + 0$

よって、(ウ) $= 2$、(エ) $= 0$、(オ) $= 0$

3. 最終的な答え

ア：0

イ：1

ウ：2

エ：0

オ：0