* $\|\vec{a}\|$ (ベクトル $\vec{a}$ の大きさ) * $(\vec{b}, \vec{c})$ (ベクトル $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の内積) * $\cos \theta$ (ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の余弦) * $3\vec{b} - \vec{c} \times \vec{a}$ * $V$ (ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積)

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1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ と行列 $A$, $B$, $C$ について、以下の問題を解く。

1. ベクトルに関する計算：

* $\|\vec{a}\|$ (ベクトル $\vec{a}$ の大きさ)

* $(\vec{b}, \vec{c})$ (ベクトル $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の内積)

* $\cos \theta$ (ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の余弦)

* $3\vec{b} - \vec{c} \times \vec{a}$

* $V$ (ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積)

2. 行列に関する計算：

* $AB$

* $BC$

* $^tAC$

* $^tAC^tC$

3. 連立一次方程式の解を掃き出し法で求める問題：

* $2x + 3y + z = 10$

$x + y - z = 0$

$3x + y + z = 10$

* $4x + 5y - 4z = 5$

$-x + 4y + z = 4$

$3x + 2y - 3z = 2$

4. 行列の階数 (ランク) を求める問題

5. 行列 $A$ の行列式の値を求める問題

6. 行列式の値を求める問題

7. 行列 $A$ の逆行列 $B$ を余因子行列を用いて求める問題。また、$AB = E$ を確認する問題

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2. 解き方の手順

1. ベクトルに関する計算

* $\|\vec{a}\|$: ベクトルの大きさは各成分の二乗和の平方根で計算する。$\|\vec{a}\| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$.

* $(\vec{b}, \vec{c})$: ベクトルの内積は各成分の積の和で計算する。$(\vec{b}, \vec{c}) = (1)(3) + (-2)(0) + (-4)(2) = 3 + 0 - 8 = -5$.

* $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}$ で計算する。$\|\vec{b}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+4+16} = \sqrt{21}$. よって、$(\vec{a}, \vec{b}) = (-3)(1) + (1)(-2) + (-2)(-4) = -3 - 2 + 8 = 3$ であり、$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{294}} = \frac{3}{7\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{14}$.

* $3\vec{b} - \vec{c} \times \vec{a}$: $\vec{c} \times \vec{a}$ (ベクトル $\vec{c}$ と $\vec{a}$ の外積)を計算してから、 $3\vec{b}$ から引く。

$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 2 \\ -3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 2) - \vec{j}(-6 + 6) + \vec{k}(3 - 0) = -2\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$.

$3\vec{b} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ -12 \end{bmatrix}$.

$3\vec{b} - \vec{c} \times \vec{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ -12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -6 \\ -15 \end{bmatrix}$.

* $V$: $V = |(\vec{a}, \vec{b} \times \vec{c})|$ (スカラー三重積の絶対値) で計算する。

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & -4 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(-4 - 0) - \vec{j}(2 + 12) + \vec{k}(0 + 6) = -4\vec{i} - 14\vec{j} + 6\vec{k} = \begin{bmatrix} -4 \\ -14 \\ 6 \end{bmatrix}$.

$(\vec{a}, \vec{b} \times \vec{c}) = (-3)(-4) + (1)(-14) + (-2)(6) = 12 - 14 - 12 = -14$.

$V = |-14| = 14$.

2. 行列に関する計算

* $AB$: 行列の積は、左側の行列の行と右側の行列の列の内積で計算する。

$AB = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-8+0 & -6+2+1 & 0+4+3 \\ 1+0+0 & -2+0-2 & 0+0-6 \\ 1-4+0 & -2+1+0 & 0+2+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & -3 & 7 \\ 1 & -4 & -6 \\ -3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$.

* $BC$:

$BC = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3-6+0 \\ 12+3+8 \\ 0+3+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 \\ 23 \\ 15 \end{bmatrix}$.

* $^tAC$:

$^tA = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}$.

$^tAC = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9+3+4 \\ -6+0+4 \\ -3-6+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -9 \end{bmatrix}$.

* $^tAC^tC$:

$^tC = \begin{bmatrix} -3 & 3 & 4 \end{bmatrix}$.

$^tAC^tC = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 3 & 4 \end{bmatrix}$ は計算不能.

3. 連立一次方程式の解

* **(1)**

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 10 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 10 \\ 3 & 1 & 1 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 10 \\ 0 & -2 & 4 & 10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 10 \\ 0 & 0 & 10 & 30 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

$x=2, y=1, z=3$.

* **(2)**

$\begin{bmatrix} 4 & 5 & -4 & 5 \\ -1 & 4 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & -3 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 4 & 1 & 4 \\ 4 & 5 & -4 & 5 \\ 3 & 2 & -3 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -4 & -1 & -4 \\ 0 & 21 & 0 & 21 \\ 0 & 14 & 0 & 14 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -4 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.

$x - z = 0, y = 1$. Let $z = c$. $x=c$. $y=1$. $(x, y, z) = (c, 1, c)$.

4. 行列の階数

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & -3 & 1 \\ 4 & -5 & 7 & 3 \\ 3 & 3 & -2 & 2 \\ 5 & -5 & 8 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & -11 & 13 & 1 \\ 0 & -3 & 5/2 & 1/2 \\ 0 & -20/2 & 31/2 & 3/2 \end{bmatrix}$.

ランクは

3.

5. 行列 $A$ の行列式の値

$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ -7 & 4 & -1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -7 & -1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -7 & 4 \end{vmatrix} = 3(-2 - 20) + (-1+35) + 2(4+14) = 3(-22) + 34 + 2(18) = -66 + 34 + 36 = 4$.

6. 行列式の値

この行列式を計算するには、行または列に沿って余因子展開を使用します。しかし、行列式は0です。

7. 行列 $A$ の逆行列 $B$ の計算

$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ -7 & 4 & -1 \end{bmatrix}$. $|A| = 4$ (上記参照)。

余因子行列を求めます。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -22, C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -7 & -1 \end{vmatrix} = -34, C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -7 & 4 \end{vmatrix} = 18$.

$C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -(-7) = 7, C_{22} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -7 & -1 \end{vmatrix} = 11, C_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -7 & 4 \end{vmatrix} = -(12-7) = -5$.

$C_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = -9, C_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = -13, C_{33} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 7$.

余因子行列 $C = \begin{bmatrix} -22 & -34 & 18 \\ 7 & 11 & -5 \\ -9 & -13 & 7 \end{bmatrix}$.

転置余因子行列 $C^T = \begin{bmatrix} -22 & 7 & -9 \\ -34 & 11 & -13 \\ 18 & -5 & 7 \end{bmatrix}$.

逆行列 $B = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -22 & 7 & -9 \\ -34 & 11 & -13 \\ 18 & -5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11/2 & 7/4 & -9/4 \\ -17/2 & 11/4 & -13/4 \\ 9/2 & -5/4 & 7/4 \end{bmatrix}$.

$AB=E$ であることを確認する：

$AB = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ -7 & 4 & -1 \end{bmatrix} * \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -22 & 7 & -9 \\ -34 & 11 & -13 \\ 18 & -5 & 7 \end{bmatrix} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = E$.

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3. 最終的な答え

1. (i) $\|\vec{a}\| = \sqrt{14}$

(ii) $(\vec{b}, \vec{c}) = -5$

(iii) $\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{14}$

(iv) $3\vec{b} - \vec{c} \times \vec{a} = \begin{bmatrix} 5 \\ -6 \\ -15 \end{bmatrix}$

(v) $V = 14$

2. (i) $AB = \begin{bmatrix} -5 & -3 & 7 \\ 1 & -4 & -6 \\ -3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

(ii) $BC = \begin{bmatrix} -9 \\ 23 \\ 15 \end{bmatrix}$

(iii) $^tAC = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ -9 \end{bmatrix}$

(iv) $^tAC^tC$ は計算不能

3. (1) $x=2, y=1, z=3$

(2) $(x, y, z) = (c, 1, c)$

4. 3

5. 4

6. 0

7. $B = \begin{bmatrix} -11/2 & 7/4 & -9/4 \\ -17/2 & 11/4 & -13/4 \\ 9/2 & -5/4 & 7/4 \end{bmatrix}$

$AB=E$