与えられた連立不等式 $ \begin{cases} 1 + \log_2 y \le \log_2 (18 - 3x) \\ 1 + \log_2 y \le \log_2 (10 - x) \end{cases} $ について、真数条件、不等式変形、そして $x+y$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$$

\begin{cases}

1 + \log_2 y \le \log_2 (18 - 3x) \\

1 + \log_2 y \le \log_2 (10 - x)

\end{cases}

$$

について、真数条件、不等式変形、そして $x+y$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず真数条件を考えます。

$18 - 3x > 0$ より $x < 6$

$10 - x > 0$ より $x < 10$

$y > 0$

よって、$x < 6, y > 0$

次に、与えられた連立不等式を変形します。

不等式①は、

$1 + \log_2 y \le \log_2 (18 - 3x)$

$\log_2 2 + \log_2 y \le \log_2 (18 - 3x)$

$\log_2 2y \le \log_2 (18 - 3x)$

$2y \le 18 - 3x$

$y \le - \frac{3}{2} x + 9$

不等式②は、

$1 + \log_2 y \le \log_2 (10 - x)$

$\log_2 2 + \log_2 y \le \log_2 (10 - x)$

$\log_2 2y \le \log_2 (10 - x)$

$2y \le 10 - x$

$y \le - \frac{1}{2} x + 5$

$x+y$ が最大となるのは、2つの直線の交点の近くです。

$-\frac{3}{2}x + 9 = -\frac{1}{2}x + 5$ を解くと、

$4 = x$

$y = - \frac{1}{2} \cdot 4 + 5 = -2 + 5 = 3$

このとき、$x+y = 4+3 = 7$

したがって、$x=4, y=3$のとき、$x+y$は最大値7をとります。

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: 0

ウエ: -3

オ: 2

カ: 9

キク: -1

ケ: 2

コ: 5

サ: 4

シ: 3

ス: 7