与えられた連立方程式を解く問題です。 (1) $\begin{cases} 2^{x-1} + 3^{y+2} = 31 \\ 2^{x+1} + 3^{y-1} = 17 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} \log_3 (x+1) - \log_9 y = \frac{3}{2} \\ x + 3y = 3 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解く問題です。

(1) $\begin{cases} 2^{x-1} + 3^{y+2} = 31 \\ 2^{x+1} + 3^{y-1} = 17 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} \log_3 (x+1) - \log_9 y = \frac{3}{2} \\ x + 3y = 3 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた連立方程式を整理します。

$2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$

$3^{y+2} = 3^y \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^y$

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2 = 2 \cdot 2^x$

$3^{y-1} = \frac{3^y}{3}$

したがって、与えられた連立方程式は以下のように書き換えられます。

$\begin{cases} \frac{2^x}{2} + 9 \cdot 3^y = 31 \\ 2 \cdot 2^x + \frac{3^y}{3} = 17 \end{cases}$

ここで、$2^x = A$, $3^y = B$ とおくと、連立方程式は

$\begin{cases} \frac{A}{2} + 9B = 31 \\ 2A + \frac{B}{3} = 17 \end{cases}$

これを解くために、まず1番目の式を2倍、2番目の式を3倍します。

$\begin{cases} A + 18B = 62 \\ 6A + B = 51 \end{cases}$

2番目の式から $B = 51 - 6A$ を得て、1番目の式に代入します。

$A + 18(51 - 6A) = 62$

$A + 918 - 108A = 62$

$-107A = -856$

$A = 8$

$B = 51 - 6A = 51 - 6(8) = 51 - 48 = 3$

したがって、$2^x = 8 = 2^3$ より $x=3$, $3^y = 3 = 3^1$ より $y=1$.

(2)

与えられた連立方程式は

$\begin{cases} \log_3 (x+1) - \log_9 y = \frac{3}{2} \\ x + 3y = 3 \end{cases}$

$\log_9 y = \frac{\log_3 y}{\log_3 9} = \frac{\log_3 y}{2}$

したがって、1番目の式は

$\log_3 (x+1) - \frac{\log_3 y}{2} = \frac{3}{2}$

$2 \log_3 (x+1) - \log_3 y = 3$

$\log_3 (x+1)^2 - \log_3 y = \log_3 3^3 = \log_3 27$

$\log_3 \frac{(x+1)^2}{y} = \log_3 27$

$\frac{(x+1)^2}{y} = 27$

$(x+1)^2 = 27y$

2番目の式から $x = 3 - 3y$ を得て、1番目の式に代入します。

$(3 - 3y + 1)^2 = 27y$

$(4 - 3y)^2 = 27y$

$16 - 24y + 9y^2 = 27y$

$9y^2 - 51y + 16 = 0$

$(3y - 16)(3y - 1) = 0$

$y = \frac{16}{3}$ または $y = \frac{1}{3}$

$y = \frac{16}{3}$ のとき、 $x = 3 - 3y = 3 - 3 \cdot \frac{16}{3} = 3 - 16 = -13$

このとき、$x+1 = -12 < 0$ なので、$\log_3 (x+1)$ が定義されないため不適。

$y = \frac{1}{3}$ のとき、 $x = 3 - 3y = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 - 1 = 2$

このとき、$x+1 = 3 > 0$ かつ $y = \frac{1}{3} > 0$ なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$, $y = 1$

(2) $x = 2$, $y = \frac{1}{3}$