直線 $y=2x$ と直線 $y=ax+6$ の交点をAとする。線分OA上に点Bをとり、点Bを通りx軸に平行な直線と直線 $y=ax+6$ との交点をCとする。2点B,Cからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をそれぞれD,Eとする。$a<0$のとき、以下の問いに答える。 (1) $a = -\frac{1}{2}$ のとき、点Aの座標を求めよ。 (2) 点Dの座標が(2,0)であり、四角形BDECが正方形となるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y=2x$ と直線 $y=ax+6$ の交点をAとする。線分OA上に点Bをとり、点Bを通りx軸に平行な直線と直線 $y=ax+6$ との交点をCとする。2点B,Cからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をそれぞれD,Eとする。$a<0$のとき、以下の問いに答える。

(1) $a = -\frac{1}{2}$ のとき、点Aの座標を求めよ。

(2) 点Dの座標が(2,0)であり、四角形BDECが正方形となるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは2つの直線の交点なので、連立方程式を解くことで座標を求められる。$a = -\frac{1}{2}$を$y=ax+6$に代入すると、$y = -\frac{1}{2}x + 6$となる。

連立方程式

$y = 2x$

$y = -\frac{1}{2}x + 6$

を解く。

$2x = -\frac{1}{2}x + 6$

$\frac{5}{2}x = 6$

$x = \frac{12}{5}$

$y = 2x = 2 \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$

よって点Aの座標は$(\frac{12}{5}, \frac{24}{5})$である。

(2) 四角形BDECが正方形なので、BD = DEとなる。点Dの座標が(2,0)なので、点Bのx座標は2である。

点Bは$y=2x$上にあるので、点Bのy座標は$y = 2(2) = 4$。

したがって、点Bの座標は(2,4)である。

四角形BDECが正方形なので、DE = BD = 4。よって、点Eのx座標は2 + 4 = 6である。

点Cは$y=ax+6$上にあるので、点Cのy座標は4である。点Cのx座標は6である。

したがって、点Cの座標は(6,4)である。

点C(6,4)が直線$y=ax+6$上にあるので、これを代入してaを求める。

$4 = 6a + 6$

$6a = -2$

$a = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 点Aの座標: $(\frac{12}{5}, \frac{24}{5})$

(2) $a = -\frac{1}{3}$