関数 $y = x^2$ について、定義域が $a \leq x \leq a+2$ のとき、最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値も答える問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2$ について、定義域が $a \leq x \leq a+2$ のとき、最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値も答える問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = x^2$ は下に凸な放物線であり、軸は $x=0$ です。定義域 $a \leq x \leq a+2$ と軸 $x=0$ の位置関係によって、最大値と最小値を取る $x$ の値が変わります。場合分けをして考えます。

* 場合1: $a+2 < 0$、つまり $a < -2$ のとき

このとき、定義域は $x < 0$ の範囲にあり、$x$ が増加すると $y$ は減少します。

したがって、$x = a$ で最大値 $y = a^2$ を取り、$x = a+2$ で最小値 $y = (a+2)^2$ を取ります。

* 場合2: $a \leq 0 \leq a+2$、つまり $-2 \leq a \leq 0$ のとき

このとき、定義域は $x=0$ を含みます。

したがって、$x = 0$ で最小値 $y = 0$ を取ります。

最大値は、$x = a$ または $x = a+2$ のどちらかで取ります。

$a^2$ と $(a+2)^2$ の大小を比較します。

$a^2 - (a+2)^2 = a^2 - (a^2 + 4a + 4) = -4a - 4 = -4(a+1)$

* 場合2-1: $-2 \leq a < -1$ のとき、$-4(a+1) > 0$ なので、$a^2 > (a+2)^2$

したがって、$x = a$ で最大値 $y = a^2$ を取ります。

* 場合2-2: $a = -1$ のとき、$-4(a+1) = 0$ なので、$a^2 = (a+2)^2 = 1$

したがって、$x = a = -1$ と $x = a+2 = 1$ で最大値 $y = 1$ を取ります。

* 場合2-3: $-1 < a \leq 0$ のとき、$-4(a+1) < 0$ なので、$a^2 < (a+2)^2$

したがって、$x = a+2$ で最大値 $y = (a+2)^2$ を取ります。

* 場合3: $a > 0$ のとき

このとき、定義域は $x > 0$ の範囲にあり、$x$ が増加すると $y$ も増加します。

したがって、$x = a+2$ で最大値 $y = (a+2)^2$ を取り、$x = a$ で最小値 $y = a^2$ を取ります。

まとめると以下のようになります。

* $a < -2$ のとき: 最大値 $y = a^2$ ($x = a$), 最小値 $y = (a+2)^2$ ($x = a+2$)

* $-2 \leq a < -1$ のとき: 最大値 $y = a^2$ ($x = a$), 最小値 $y = 0$ ($x = 0$)

* $a = -1$ のとき: 最大値 $y = 1$ ($x = -1, 1$), 最小値 $y = 0$ ($x = 0$)

* $-1 < a \leq 0$ のとき: 最大値 $y = (a+2)^2$ ($x = a+2$), 最小値 $y = 0$ ($x = 0$)

* $a > 0$ のとき: 最大値 $y = (a+2)^2$ ($x = a+2$), 最小値 $y = a^2$ ($x = a$)

3. 最終的な答え

* $a < -2$ のとき: 最大値 $y = a^2$ ($x = a$), 最小値 $y = (a+2)^2$ ($x = a+2$)

* $-2 \leq a < -1$ のとき: 最大値 $y = a^2$ ($x = a$), 最小値 $y = 0$ ($x = 0$)

* $a = -1$ のとき: 最大値 $y = 1$ ($x = -1, 1$), 最小値 $y = 0$ ($x = 0$)

* $-1 < a \leq 0$ のとき: 最大値 $y = (a+2)^2$ ($x = a+2$), 最小値 $y = 0$ ($x = 0$)

* $a > 0$ のとき: 最大値 $y = (a+2)^2$ ($x = a+2$), 最小値 $y = a^2$ ($x = a$)