直線 $y=2ax+b$ ($1 < x < 5$) の値域が $3 < y < 12$ となるように、$a$、$b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y=2ax+b$ ($1 < x < 5$) の値域が $3 < y < 12$ となるように、$a$、$b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a$ の符号によって場合分けして考えます。

(i) $a > 0$ のとき、

$x=1$ のとき $y=3$、 $x=5$ のとき $y=12$ となります。

したがって、

$2a(1) + b = 3$

$2a(5) + b = 12$

これを連立方程式として解きます。

$2a + b = 3$

$10a + b = 12$

2式を引き算すると、

$8a = 9$

$a = \frac{9}{8}$

$b = 3 - 2a = 3 - 2(\frac{9}{8}) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$

$a = \frac{9}{8} > 0$ なので、これは条件を満たします。

(ii) $a < 0$ のとき、

$x=1$ のとき $y=12$、 $x=5$ のとき $y=3$ となります。

したがって、

$2a(1) + b = 12$

$2a(5) + b = 3$

これを連立方程式として解きます。

$2a + b = 12$

$10a + b = 3$

2式を引き算すると、

$8a = -9$

$a = -\frac{9}{8}$

$b = 12 - 2a = 12 - 2(-\frac{9}{8}) = 12 + \frac{9}{4} = \frac{48 + 9}{4} = \frac{57}{4}$

$a = -\frac{9}{8} < 0$ なので、これは条件を満たします。

(iii) $a=0$ のとき、$y=b$となり、$y$の値は変化しないので、$3 < y < 12$を満たすことはありません。

3. 最終的な答え

$a = \frac{9}{8}, b = \frac{3}{4}$ または $a = -\frac{9}{8}, b = \frac{57}{4}$