与えられた4つの不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。 (1) $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$ (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$ (3) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$ (4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ (ただし、$a \ne 0$)

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた4つの不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

(1) $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$

(3) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$

(4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ (ただし、$a \ne 0$)

2. 解き方の手順

(1)

不等式の両辺の差を計算し、平方完成を用いて変形します。

$x^2 + y^2 - 2(x + y - 1) = x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2 = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (x - 1)^2 + (y - 1)^2$

$(x - 1)^2 \ge 0$ かつ $(y - 1)^2 \ge 0$ より、$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 0$

したがって、$x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x - 1 = 0$ かつ $y - 1 = 0$、つまり $x = 1$ かつ $y = 1$ のときです。

(2)

平方完成を用いて変形します。

$x^2 + 2xy + 2y^2 = x^2 + 2xy + y^2 + y^2 = (x + y)^2 + y^2$

$(x + y)^2 \ge 0$ かつ $y^2 \ge 0$ より、$(x + y)^2 + y^2 \ge 0$

したがって、$x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x + y = 0$ かつ $y = 0$、つまり $x = 0$ かつ $y = 0$ のときです。

(3)

不等式の両辺の差を計算し、変形します。

$\frac{a^2 + b^2}{2} - (\frac{a+b}{2})^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = \frac{2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4}$

$(a - b)^2 \ge 0$ より、$\frac{(a - b)^2}{4} \ge 0$

したがって、$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$a - b = 0$、つまり $a = b$ のときです。

(4)

不等式の両辺の差を計算し、変形します。

$a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 = \frac{a^4 + 1 - 2a^2}{a^2} = \frac{a^4 - 2a^2 + 1}{a^2} = \frac{(a^2 - 1)^2}{a^2}$

$(a^2 - 1)^2 \ge 0$ かつ $a^2 > 0$ より、$\frac{(a^2 - 1)^2}{a^2} \ge 0$

したがって、$a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$a^2 - 1 = 0$、つまり $a^2 = 1$、すなわち $a = 1$ または $a = -1$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$. 等号成立条件: $x = 1$ かつ $y = 1$

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$. 等号成立条件: $x = 0$ かつ $y = 0$

(3) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$. 等号成立条件: $a = b$

(4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ (ただし、$a \ne 0$). 等号成立条件: $a = 1$ または $a = -1$