問題は2つのパートに分かれています。 [1] では、2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、頂点の座標と軸の方程式、最大値と最小値を求める問題です。 [2] では、$a > 0$ とし、2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、最大値が7のときの $a$ の値、最小値が-6のときの $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

[1] では、2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ ($2 \le x \le 8$) について、頂点の座標と軸の方程式、最大値と最小値を求める問題です。

[2] では、$a > 0$ とし、2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、最大値が7のときの $a$ の値、最小値が-6のときの $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

[1]

(1) 2次関数 $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 10$ を平方完成します。

$y = \frac{1}{4}(x^2 - 12x) + 10 = \frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36 - 36) + 10 = \frac{1}{4}(x-6)^2 - 9 + 10 = \frac{1}{4}(x-6)^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(6, 1)$ であり、軸の方程式は $x = 6$ です。

(2) 定義域 $2 \le x \le 8$ における最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x = 6$ で、これは定義域に含まれます。

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{4}(2)^2 - 3(2) + 10 = 1 - 6 + 10 = 5$

$x = 8$ のとき、$y = \frac{1}{4}(8)^2 - 3(8) + 10 = 16 - 24 + 10 = 2$

頂点の $y$ 座標は $1$ なので、最小値は $x = 6$ のとき $1$ です。

最大値は $x = 2$ のとき $5$ です。

[2]

(1) 2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ を平方完成します。

$y = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a(x-2)^2 - 4a + 2$

軸は $x = 2$ であり、定義域は $1 \le x \le 5$ です。$a > 0$ なので、グラフは下に凸の放物線です。

最大値は $x = 5$ のとき、または $x = 1$ のときにとります。$f(1) = a - 4a + 2 = -3a + 2$, $f(5) = 25a - 20a + 2 = 5a + 2$

$5a+2 = 7$ より $5a = 5$, $a = 1$

$-3a+2 = 7$ より $-3a = 5$, $a = -\frac{5}{3}$.　これは $a > 0$ に反するので不適。

したがって、$a = 1$ です。

(2) 最小値は頂点 $x=2$ でとるので、$y = -4a + 2 = -6$

$-4a = -8$

$a = 2$

3. 最終的な答え

[1]

(1) 頂点: $(6, 1)$、軸: $x = 6$

(2) 最大値: $x = 2$ で $5$、最小値: $x = 6$ で $1$

[2]

(1) $a = 1$

(2) $a = 2$