与えられた二次関数について、指定された範囲における最大値または最小値が与えられた値と一致するように、定数 $c$ の値を決定する。 (1) 関数 $y = x^2 - 12x + c$ ($3 \le x \le 8$) の最大値が10である。 (2) 関数 $y = -x^2 - 8x + c$ ($-6 \le x \le 2$) の最小値が-16である。

## 問題49

1. 問題の内容

与えられた二次関数について、指定された範囲における最大値または最小値が与えられた値と一致するように、定数 $c$ の値を決定する。

(1) 関数 $y = x^2 - 12x + c$ ($3 \le x \le 8$) の最大値が10である。

(2) 関数 $y = -x^2 - 8x + c$ ($-6 \le x \le 2$) の最小値が-16である。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 12x + c$ を平方完成する。

$y = (x - 6)^2 - 36 + c$

軸は $x = 6$ である。

定義域 $3 \le x \le 8$ において、$x = 3$ で最大値を取る。

$x = 3$ を代入して、$y = 3^2 - 12 \times 3 + c = 9 - 36 + c = c - 27$

最大値が10なので、$c - 27 = 10$

したがって、$c = 37$

(2)

まず、$y = -x^2 - 8x + c$ を平方完成する。

$y = -(x + 4)^2 + 16 + c$

軸は $x = -4$ である。

定義域 $-6 \le x \le 2$ において、$x = 2$ で最小値を取る。

$x = 2$ を代入して、$y = -2^2 - 8 \times 2 + c = -4 - 16 + c = c - 20$

最小値が-16なので、$c - 20 = -16$

したがって、$c = 4$

3. 最終的な答え

(1) $c = 37$

(2) $c = 4$

## 問題50

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

(1) 頂点が点 $(1, 2)$ で、点 $(0, 4)$ を通る。

(2) 軸が直線 $x = -3$ で、2点 $(-2, 0)$, $(1, -15)$ を通る。

(3) 3点 $(-1, 6)$, $(1, -2)$, $(2, 3)$ を通る。

(4) 放物線 $y = 2x^2$ を平行移動したもので、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が $y$ 軸上にある。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が $(1, 2)$ なので、$y = a(x - 1)^2 + 2$ とおける。

点 $(0, 4)$ を通るので、$4 = a(0 - 1)^2 + 2$

$4 = a + 2$

$a = 2$

よって、$y = 2(x - 1)^2 + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) + 2 = 2x^2 - 4x + 4$

(2)

軸が $x = -3$ なので、$y = a(x + 3)^2 + q$ とおける。

点 $(-2, 0)$ を通るので、$0 = a(-2 + 3)^2 + q = a + q$

点 $(1, -15)$ を通るので、$-15 = a(1 + 3)^2 + q = 16a + q$

2つの式を連立して解く。

$q = -a$ を $-15 = 16a + q$ に代入して $-15 = 16a - a = 15a$

$a = -1$

$q = -a = 1$

よって、$y = -(x + 3)^2 + 1 = -(x^2 + 6x + 9) + 1 = -x^2 - 6x - 8$

(3)

$y = ax^2 + bx + c$ とおく。

点 $(-1, 6)$ を通るので、$6 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

点 $(1, -2)$ を通るので、$-2 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$

点 $(2, 3)$ を通るので、$3 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$

3つの式を連立して解く。

$a - b + c = 6$

$a + b + c = -2$

$4a + 2b + c = 3$

2番目の式から1番目の式を引くと、$2b = -8$, $b = -4$

$a + c = -2 - b = -2 + 4 = 2$

$4a + 2(-4) + c = 3$, $4a + c = 11$

$3a = 9$, $a = 3$

$c = 2 - a = 2 - 3 = -1$

よって、$y = 3x^2 - 4x - 1$

(4)

$y = 2x^2$ を平行移動したもので、頂点が $y$ 軸上にあるので、$y = 2(x - 0)^2 + q = 2x^2 + q$ とおける。

点 $(2, 4)$ を通るので、$4 = 2(2)^2 + q = 8 + q$

$q = -4$

よって、$y = 2x^2 - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 4x + 4$

(2) $y = -x^2 - 6x - 8$

(3) $y = 3x^2 - 4x - 1$

(4) $y = 2x^2 - 4$