与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4x + 5$ ($1 \leq x \leq 3$)

まず、平方完成を行います。

$y = (x - 2)^2 + 1$

頂点は $(2, 1)$ です。

定義域 $1 \leq x \leq 3$ において、

$x = 2$ のとき、最小値 $y = 1$

$x = 1$ のとき、 $y = (1-2)^2 + 1 = 2$

$x = 3$ のとき、 $y = (3-2)^2 + 1 = 2$

したがって、最大値は $2$ ($x = 1, 3$ のとき)、最小値は $1$ ($x = 2$ のとき)

(2) $y = -x^2 - x + 2$ ($-2 < x < 0$)

まず、平方完成を行います。

$y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ です。

定義域 $-2 < x < 0$ において、

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $y = \frac{9}{4}$

$x = -2$ に近づくとき、$y = -(-2)^2 - (-2) + 2 = -4 + 2 + 2 = 0$

$x = 0$ に近づくとき、$y = -(0)^2 - 0 + 2 = 2$

したがって、最大値は $\frac{9}{4}$ ($x = -\frac{1}{2}$ のとき)。最小値は存在しません（定義域に端点が含まれないため）。

(3) $y = x^2 + 10x + 9$ ($-3 \leq x \leq -1$)

まず、平方完成を行います。

$y = (x + 5)^2 - 16$

頂点は $(-5, -16)$ です。

定義域 $-3 \leq x \leq -1$ において、

$x = -3$ のとき、$y = (-3 + 5)^2 - 16 = 4 - 16 = -12$

$x = -1$ のとき、$y = (-1 + 5)^2 - 16 = 16 - 16 = 0$

したがって、最大値は $0$ ($x = -1$ のとき)、最小値は $-12$ ($x = -3$ のとき)

(4) $y = -3x^2 + 6x - 5$ ($0 \leq x \leq 1$)

まず、平方完成を行います。

$y = -3(x - 1)^2 - 2$

頂点は $(1, -2)$ です。

定義域 $0 \leq x \leq 1$ において、

$x = 0$ のとき、$y = -3(0 - 1)^2 - 2 = -3 - 2 = -5$

$x = 1$ のとき、$y = -3(1 - 1)^2 - 2 = -2$

したがって、最大値は $-2$ ($x = 1$ のとき)、最小値は $-5$ ($x = 0$ のとき)

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2 ($x = 1, 3$ のとき), 最小値: 1 ($x = 2$ のとき)

(2) 最大値: $\frac{9}{4}$ ($x = -\frac{1}{2}$ のとき), 最小値: なし

(3) 最大値: 0 ($x = -1$ のとき), 最小値: -12 ($x = -3$ のとき)

(4) 最大値: -2 ($x = 1$ のとき), 最小値: -5 ($x = 0$ のとき)