$a$を正の定数とする。2次関数$f(x) = x^2 - 4x + 7$について、以下の問いに答えよ。 (1) $0 \le x \le a$における$f(x)$の最小値を求めよ。 (2) $0 \le x \le a$における$f(x)$の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とする。2次関数$f(x) = x^2 - 4x + 7$について、以下の問いに答えよ。

(1) $0 \le x \le a$における$f(x)$の最小値を求めよ。

(2) $0 \le x \le a$における$f(x)$の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

このことから、放物線の頂点は$(2, 3)$であり、軸は$x = 2$であることがわかる。

(1) 最小値を求める。

軸$x = 2$と区間$0 \le x \le a$の位置関係で場合分けをする。

(i) $0 < a < 2$のとき、区間内で$f(x)$は単調減少であるから、$x = a$で最小値をとる。

最小値は$f(a) = a^2 - 4a + 7$。

(ii) $2 \le a$のとき、区間内に頂点が含まれるので、$x = 2$で最小値をとる。

最小値は$f(2) = 3$。

(2) 最大値を求める。

軸$x = 2$と区間$0 \le x \le a$の位置関係と、$x=0$と$x=a$における$f(x)$の値を比較する。

$f(0) = 0^2 - 4(0) + 7 = 7$

$f(a) = a^2 - 4a + 7$

(i) $0 < a < 4$のとき、$f(0) > f(a)$より、$x = 0$で最大値をとる。最大値は$f(0) = 7$。

(ii) $4 \le a$のとき、$f(a) \ge f(0)$より、$x = a$で最大値をとる。最大値は$f(a) = a^2 - 4a + 7$。

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$0 < a < 2$のとき、$f(a) = a^2 - 4a + 7$

$2 \le a$のとき、$f(2) = 3$

(2) 最大値

$0 < a < 4$のとき、$f(0) = 7$

$4 \le a$のとき、$f(a) = a^2 - 4a + 7$