関数 $y = \frac{21}{x}$ のグラフ上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は3, -7である。点Aをy軸に関して対称移動した点をCとする。四角形ACDEが長方形となるようにx軸上に2点D, Eをとる。 (1) $3 \leq x \leq 7$ における関数 $y = \frac{21}{x}$ のyの変域を求める。 (2) 直線ABの式を求める。 (3) 直線ABと線分CDとの交点をFとする。点Fの座標を求め、$\triangle OAF$ の面積と $\triangle BEF$ の面積の比を最も簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{21}{x}$ のグラフ上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は3, -7である。点Aをy軸に関して対称移動した点をCとする。四角形ACDEが長方形となるようにx軸上に2点D, Eをとる。

(1) $3 \leq x \leq 7$ における関数 $y = \frac{21}{x}$ のyの変域を求める。

(2) 直線ABの式を求める。

(3) 直線ABと線分CDとの交点をFとする。点Fの座標を求め、$\triangle OAF$ の面積と $\triangle BEF$ の面積の比を最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{21}{x}$ において、$x$ が増加すると $y$ は減少する。したがって、$x=3$ のとき $y = \frac{21}{3} = 7$, $x=7$ のとき $y = \frac{21}{7} = 3$ となる。よって、$3 \leq y \leq 7$.

(2) 点Aの座標は $(3, 7)$、点Bの座標は $(-7, -3)$ である。

直線ABの式を $y = ax + b$ とおくと、

$7 = 3a + b$

$-3 = -7a + b$

上の式から下の式を引くと、

$10 = 10a$

$a = 1$

$7 = 3(1) + b$

$b = 4$

よって、直線ABの式は $y = x + 4$ である。

(3)

(1) 点Cの座標は $(-3, 7)$ である。点Dの座標は $(-3, 0)$ である。

直線CDの式は $x = -3$ である。

直線ABの式は $y = x + 4$ である。

交点Fの座標は、$x = -3$ を $y = x + 4$ に代入して、$y = -3 + 4 = 1$ となる。

よって、点Fの座標は $(-3, 1)$ である。

(2) 点Eの座標は $(3, 0)$ である。

$\triangle OAF$ の面積は $\frac{1}{2} \times |OAのx座標| \times |OFのy座標| = \frac{1}{2} \times |-3| \times |1| = \frac{3}{2}$.

点Bのx座標は-7, 点Eのx座標は3。BEの長さは$3 - (-7) = 10$

点Bのy座標は-3, 点Fのy座標は1。$\triangle BEF$ の高さは$|1 - (-3)| = 4$

$\triangle BEF$ の面積は $\frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$ではない。高さが違う。

$BE = 3 - (-7) = 10$。Fの座標は(-3,1), Bの座標は(-7, -3).

直線BEの傾きは $\frac{0-(-3)}{3-(-7)} = \frac{3}{10}$. 直線BEの式は $y=\frac{3}{10}(x-3)$.

FからBEまでの距離は, $y=\frac{3}{10}(x-3)$ と $x + 4 - y = 0$ の間の距離。

直線ABの式は $x - y + 4 = 0$. 点Bと点Fのy座標の差は $1 - (-3) = 4$. 点Bのx座標と点Fのx座標の差は $-3 - (-7) = 4$。

点Fを通るx軸と平行な直線とBEの交点をHとすると, Hのy座標は1だから, $1 = \frac{3}{10}(x-3)$ より $10 = 3x - 9$ となり $3x=19$ から $x = \frac{19}{3}$. よって $FH = |\frac{19}{3} - (-3)| = |\frac{19}{3} + \frac{9}{3}| = \frac{28}{3}$.

$BE = 10$. よって $BF = \sqrt{(1+3)^2 + (-3+7)^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$.

$\triangle OAF$の面積: $\frac{1}{2} \times OF \times OからCDまでの距離= \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = \frac{3}{2}$.

Bから線CDまでの距離= |-7 - (-3)| = 4

点Bのy座標から点Fのy座標までの距離= |-3-1| = 4

$\triangle BEF$の面積= $\frac{1}{2} * \frac{28}{3} * 4 = \frac{56}{3}$.

面積比 = $\frac{3}{2} : \frac{56}{3} = 9 : 112$

3. 最終的な答え

(1) $3 \leq y \leq 7$

(2) $y = x + 4$

(3)

① $(-3, 1)$

② $9:112$