関数 $y = 2x^2 - 4ax$ ($0 \le x \le 2$) について、最小値と最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 4ax$ ($0 \le x \le 2$) について、最小値と最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める。

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax = 2(x^2 - 2ax) = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = 2((x-a)^2 - a^2) = 2(x-a)^2 - 2a^2$

よって、頂点の座標は $(a, -2a^2)$ です。

最小値を考えるには、定義域 $0 \le x \le 2$ における頂点の位置関係で場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき：

定義域内で関数は単調増加なので、$x=0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(0)^2 - 4a(0) = 0$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき：

頂点が定義域に含まれるので、$x=a$ で最小値をとります。

最小値は $y = -2a^2$

(iii) $a > 2$ のとき：

定義域内で関数は単調減少なので、$x=2$ で最小値をとります。

最小値は $y = 2(2)^2 - 4a(2) = 8 - 8a$

(2) 最大値を求める。

最大値を考えるには、定義域 $0 \le x \le 2$ における軸の位置関係と、定義域の両端の値で場合分けします。

(i) $a \le 1$ のとき：

$x=2$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2(2)^2 - 4a(2) = 8 - 8a$

(ii) $a > 1$ のとき：

$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2(0)^2 - 4a(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、0

$0 \le a \le 2$ のとき、$-2a^2$

$a > 2$ のとき、$8 - 8a$

(2) 最大値

$a \le 1$ のとき、$8 - 8a$

$a > 1$ のとき、0