2次方程式 $x^2 + 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めます。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (4) $\alpha^2 + \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(4) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係を利用します。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$a=1$, $b=3$, $c=4$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$

$\alpha \beta = \frac{4}{1} = 4$

(1) $\alpha + \beta$ の値は解と係数の関係から $-3$ と求められます。

(2) $\alpha \beta$ の値は解と係数の関係から $4$ と求められます。

(3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ は $\alpha \beta (\alpha + \beta)$ と変形できます。

$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = 4 \times (-3) = -12$

(4) $\alpha^2 + \beta^2$ は $(\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ と変形できます。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = (-3)^2 - 2 \times 4 = 9 - 8 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = -3$

(2) $\alpha \beta = 4$

(3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = -12$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 = 1$