不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $2x-1$ をかけますが、$2x-1$ の符号によって不等号の向きが変わるので、場合分けが必要です。

(i) $2x-1 > 0$ つまり $x > \frac{1}{2}$ のとき：

両辺に $2x-1$ をかけると、

$4x \ge 2x(2x-1)$

$4x \ge 4x^2 - 2x$

$0 \ge 4x^2 - 6x$

$0 \ge 2x(2x - 3)$

$2x(2x - 3) \le 0$

$0 \le x \le \frac{3}{2}$

$x > \frac{1}{2}$ という条件があるので、$\frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$

(ii) $2x-1 < 0$ つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき：

両辺に $2x-1$ をかけると、不等号の向きが変わって、

$4x \le 2x(2x-1)$

$4x \le 4x^2 - 2x$

$0 \le 4x^2 - 6x$

$0 \le 2x(2x - 3)$

$2x(2x - 3) \ge 0$

$x \le 0$ または $x \ge \frac{3}{2}$

$x < \frac{1}{2}$ という条件があるので、$x \le 0$

(iii) $2x-1 = 0$ つまり $x = \frac{1}{2}$ のとき：

$\frac{4x}{2x-1}$ が定義されないので、解ではありません。

(i)と(ii)の結果を合わせると、$x \le 0$ または $\frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$x \le 0$ または $\frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$