7番は二次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + b$ に関する問題です。関数 $f(x)$ は点$(1, 1)$ を通り、そのグラフがx軸と接する場合や、$x \ge 1$ において常に $f(x) > 0$ となる条件に関する問いです。 8番は、3個の玉 a, b, c を7つの箱 A, B, C, D, E, F, G に入れる場合の数に関する問題です。ただし、1つの箱には1個までしか玉を入れられません。 今回は、7番の問題について解答します。 (1) $b$ を $a$ を用いて表す。 (2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、$a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。 (3) $x \ge 1$ において、常に不等式 $f(x) > 0$ が成り立つとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

7番は二次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + b$ に関する問題です。関数 $f(x)$ は点$(1, 1)$ を通り、そのグラフがx軸と接する場合や、$x \ge 1$ において常に $f(x) > 0$ となる条件に関する問いです。

8番は、3個の玉 a, b, c を7つの箱 A, B, C, D, E, F, G に入れる場合の数に関する問題です。ただし、1つの箱には1個までしか玉を入れられません。

今回は、7番の問題について解答します。

(1) $b$ を $a$ を用いて表す。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、$a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

(3) $x \ge 1$ において、常に不等式 $f(x) > 0$ が成り立つとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 4ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通るので、 $f(1) = 1$ となります。

$1 = 1^2 - 4a(1) + b$

$1 = 1 - 4a + b$

$b = 4a$

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、判別式 $D = 0$ となります。

$D = (-4a)^2 - 4(1)(b) = 0$

$16a^2 - 4b = 0$

$4a^2 - b = 0$

$b = 4a^2$

(1) より $b = 4a$ なので、$4a^2 = 4a$

$4a^2 - 4a = 0$

$4a(a - 1) = 0$

$a = 0$ または $a = 1$

$a = 0$ のとき、$b = 4(0) = 0$ なので、$f(x) = x^2$ となり、接点の座標は $(0, 0)$ です。

$a = 1$ のとき、$b = 4(1) = 4$ なので、$f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ となり、接点の座標は $(2, 0)$ です。

(3) $x \ge 1$ において、$f(x) > 0$ が常に成り立つ条件を考えます。

$f(x) = x^2 - 4ax + 4a = (x - 2a)^2 + 4a - 4a^2$

$a = 0$ のとき、$f(x) = x^2$ なので、$x \ge 1$ で $f(x) > 0$ は成立します。

$a = 1$ のとき、$f(x) = (x - 2)^2$ なので、$x \ge 1$ で $f(x) > 0$ は成立します。

この時の$x$軸との接点は$x=2$である。

$f(1)>0$ より、

$f(1) = 1 - 4a + 4a = 1 > 0$

軸の位置が重要になります。

軸 $x = 2a$ が $x \ge 1$ の範囲にあるとき、$2a \ge 1$ なので、$a \ge \frac{1}{2}$。このとき、$f(1) = 1 > 0$ なので、 $a \ge \frac{1}{2}$ であればよい。

軸 $x = 2a$ が $x < 1$ の範囲にあるとき、$2a < 1$ なので、$a < \frac{1}{2}$。このとき、

$f(1) = 1^2 - 4a(1) + 4a = 1$

$f(1) > 0$ は常に成立。

3. 最終的な答え

(1) $b = 4a$

(2) $a = 0$ のとき接点の座標は $(0, 0)$、$a = 1$ のとき接点の座標は $(2, 0)$

(3) $a \ge \frac{1}{2}$