複素数 $z$ が与えられた条件を満たすとき、$z$ が描く図形を求める問題です。具体的には、以下の4つの条件それぞれについて、$z$ が描く図形を答えます。 (1) $|z + 2 - 4i| = |z|$ (2) $|z + i| = |z - 1|$ (3) $z - \overline{z} = 2i$ (4) $(1 + i)z + (1 - i)\overline{z} = 4$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が与えられた条件を満たすとき、$z$ が描く図形を求める問題です。具体的には、以下の4つの条件それぞれについて、$z$ が描く図形を答えます。

(1) $|z + 2 - 4i| = |z|$

(2) $|z + i| = |z - 1|$

(3) $z - \overline{z} = 2i$

(4) $(1 + i)z + (1 - i)\overline{z} = 4$

2. 解き方の手順

(1) $|z + 2 - 4i| = |z|$

$z = x + yi$ とおくと、

$|x + yi + 2 - 4i| = |x + yi|$

$|(x + 2) + (y - 4)i| = |x + yi|$

$\sqrt{(x + 2)^2 + (y - 4)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = x^2 + y^2$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + y^2$

$4x - 8y + 20 = 0$

$x - 2y + 5 = 0$

$x - 2y + 5 = 0$ は直線を表します。

(2) $|z + i| = |z - 1|$

$z = x + yi$ とおくと、

$|x + yi + i| = |x + yi - 1|$

$|x + (y + 1)i| = |(x - 1) + yi|$

$\sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$x^2 + (y + 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$

$x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

$2y + 1 = -2x + 1$

$2y = -2x$

$y = -x$

$y = -x$ は直線を表します。

(3) $z - \overline{z} = 2i$

$z = x + yi$ とおくと、$\overline{z} = x - yi$ なので、

$(x + yi) - (x - yi) = 2i$

$x + yi - x + yi = 2i$

$2yi = 2i$

$y = 1$

$y = 1$ は直線を表します。

(4) $(1 + i)z + (1 - i)\overline{z} = 4$

$z = x + yi$ とおくと、$\overline{z} = x - yi$ なので、

$(1 + i)(x + yi) + (1 - i)(x - yi) = 4$

$(x + yi + xi - y) + (x - yi - xi - y) = 4$

$(x - y + (x + y)i) + (x - y - (x + y)i) = 4$

$2(x - y) = 4$

$x - y = 2$

$x - y = 2$ は直線を表します。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $x - 2y + 5 = 0$

(2) 直線 $y = -x$

(3) 直線 $y = 1$

(4) 直線 $x - y = 2$