$a, b$ が素数であるとき、2次方程式 $3x^2 - 12ax + ab = 0$ が2つの整数解を持つような、$a, b$ の値とその時の整数解を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ が素数であるとき、2次方程式 $3x^2 - 12ax + ab = 0$ が2つの整数解を持つような、$a, b$ の値とその時の整数解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $3x^2 - 12ax + ab = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$$\alpha + \beta = \frac{12a}{3} = 4a$$

$$\alpha \beta = \frac{ab}{3}$$

$\alpha, \beta$ は整数なので、$\alpha + \beta = 4a$ は整数であり、これは $a$ が整数であることと矛盾しない。

また、$\alpha \beta = \frac{ab}{3}$ も整数なので、$ab$ は3の倍数である。$a, b$ は素数なので、$a = 3$ または $b = 3$ である。

(i) $a = 3$ のとき、2次方程式は $3x^2 - 36x + 3b = 0$ となる。これを $x^2 - 12x + b = 0$ と変形できる。

解は $x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4b}}{2} = 6 \pm \sqrt{36 - b}$ となる。

$x$ が整数であるためには、$36 - b$ が平方数でなければならない。つまり、$36 - b = k^2$ （$k$ は整数）とおける。よって $b = 36 - k^2$。

$b$ は素数なので、$k^2 < 36$。$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ について、$b = 36, 35, 32, 27, 20, 11$。

$b$ が素数となるのは $b = 11$ のときのみ。

このとき、$x = 6 \pm \sqrt{36 - 11} = 6 \pm \sqrt{25} = 6 \pm 5 = 1, 11$。

したがって、$(a, b) = (3, 11)$ のとき、解は $x = 1, 11$。

(ii) $b = 3$ のとき、2次方程式は $3x^2 - 12ax + 3a = 0$ となる。これを $x^2 - 4ax + a = 0$ と変形できる。

解は $x = \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 - 4a}}{2} = 2a \pm \sqrt{4a^2 - a}$ となる。

$x$ が整数であるためには、$4a^2 - a = a(4a - 1)$ が平方数でなければならない。

$a$ は素数であり、$a(4a - 1)$ が平方数となるためには、$a$ と $4a - 1$ がそれぞれ平方数でなければならない（互いに素であるため）。

$a$ が平方数である素数なので、$a = 1$ となるが、$1$ は素数ではないので不適。

もし、$4a-1 = n^2$ となるならば、$4a = n^2+1$. $a = 2$ なら、$4(2) - 1 = 7$, $a = 3$ なら、$4(3) - 1 = 11$, $a = 5$ なら、$4(5) - 1 = 19$, $a = 7$ なら $4(7) - 1 = 27$, $a = 11$ なら、$4(11) - 1 = 43$, $a = 13$ なら $4(13) - 1 = 51$, $a=17$なら $4(17)-1 = 67$.

素数$a$について$4a-1$が平方数になるのはなさそう.

3. 最終的な答え

$(a, b) = (3, 11)$ のとき、整数解は $x = 1, 11$。