$a, b$ は素数であり、2次方程式 $3x^2 - 12ax + ab = 0$ が2つの整数解を持つとき、$a, b$ の値と、その整数解を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は素数であり、2次方程式 $3x^2 - 12ax + ab = 0$ が2つの整数解を持つとき、$a, b$ の値と、その整数解を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = \frac{12a}{3} = 4a$

$\alpha \beta = \frac{ab}{3}$

ここで、$\alpha, \beta$ は整数、$a, b$ は素数であるから、$\frac{ab}{3}$ も整数である。

したがって、$a$ または $b$ は 3 である必要がある。

(i) $a=3$ のとき

$\alpha + \beta = 4a = 12$

$\alpha \beta = \frac{3b}{3} = b$

$\alpha, \beta$ は $t^2 - 12t + b = 0$ の2解である。

$t = \frac{12 \pm \sqrt{144-4b}}{2} = 6 \pm \sqrt{36-b}$

ここで、$t$ は整数なので、$36-b$ は平方数である必要がある。

$36-b = k^2$ （$k$は整数）とおくと、$b = 36-k^2$

$b$ は素数なので、$36-k^2$ は素数。

$k=1$ のとき $b=35=5\cdot 7$ (素数ではない)

$k=2$ のとき $b=32$ (素数ではない)

$k=3$ のとき $b=27$ (素数ではない)

$k=4$ のとき $b=20$ (素数ではない)

$k=5$ のとき $b=11$ (素数である)

$k=6$ のとき $b=0$ (素数ではない)

したがって、$b=11$ のとき、$t = 6 \pm \sqrt{36-11} = 6 \pm 5$

$t = 1, 11$

したがって、解は $x=1, 11$

$a=3, b=11$ が解。

(ii) $b=3$ のとき

$\alpha + \beta = 4a$

$\alpha \beta = \frac{a \cdot 3}{3} = a$

$\alpha, \beta$ は $t^2 - 4at + a = 0$ の2解である。

$t = \frac{4a \pm \sqrt{16a^2-4a}}{2} = 2a \pm \sqrt{4a^2-a}$

ここで、$t$ は整数なので、$4a^2-a$ は平方数である必要がある。

$4a^2 - a = k^2$ ($k$ は整数)とおくと、

$a(4a-1) = k^2$

$a$ は素数なので、$a$ と $4a-1$ は互いに素である。

したがって、$a$ も $4a-1$ も平方数である必要がある。

$a = l^2$ ($l$ は整数)とおくと、 $a$ が素数である条件より、$l=1$しかありえない。

しかし、$a=1$ は素数ではないので矛盾。

また、$a=p^2$とおいても、左辺はpで割れるが右辺はpで割れないため矛盾する。

したがって、$a=3, b=11$ のみ。

3. 最終的な答え

$a = 3, b = 11$ のとき、解は $x=1, 11$