多項式 $P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$ を、次の1次式で割ったときの余りを求める問題です。 (1) $x - 1$ (2) $x + 2$ (3) $2x - 1$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1$ を、次の1次式で割ったときの余りを求める問題です。

(1) $x - 1$

(2) $x + 2$

(3) $2x - 1$

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、多項式$P(x)$を$x-a$で割ったときの余りは$P(a)$であるというものです。

(1) $x - 1$ で割ったとき:

$P(1)$ を計算します。

$P(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 1 + 2 - 3 + 1 = 1$

したがって、余りは 1 です。

(2) $x + 2$ で割ったとき:

$P(-2)$ を計算します。

$P(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = -8 + 8 + 6 + 1 = 7$

したがって、余りは 7 です。

(3) $2x - 1$ で割ったとき:

$2x - 1 = 0$ となる $x$ の値を求めると、$x = \frac{1}{2}$ です。

$P(\frac{1}{2})$ を計算します。

$P(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 + 2(\frac{1}{2})^2 - 3(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{8} + \frac{2}{4} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{8} + \frac{4}{8} - \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = \frac{1 + 4 - 12 + 8}{8} = \frac{1}{8}$

したがって、余りは $\frac{1}{8}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 余り: 1

(2) 余り: 7

(3) 余り: $\frac{1}{8}$