複素数 $z$ が与えられた条件を満たすとき、$z$ が描く図形を求める問題です。 (1) $|2z+i| = 4$ (2) $(z-1+2i)(\bar{z}-1-2i) = 4$ (3) $|z+4| = 2|z-2|$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が与えられた条件を満たすとき、$z$ が描く図形を求める問題です。

(1) $|2z+i| = 4$

(2) $(z-1+2i)(\bar{z}-1-2i) = 4$

(3) $|z+4| = 2|z-2|$

2. 解き方の手順

(1) $|2z+i| = 4$

まず、$2$ で割ると、

$|z+\frac{i}{2}| = 2$

これは、中心が $-\frac{i}{2}$ で半径が $2$ の円を表します。

(2) $(z-1+2i)(\bar{z}-1-2i) = 4$

$z-1+2i = w$ とおくと、$\bar{w} = \bar{z} - 1 - 2i$ であるから、

$w\bar{w} = |w|^2 = 4$

したがって、$|w| = 2$

$|z-1+2i| = 2$

これは、中心が $1-2i$ で半径が $2$ の円を表します。

(3) $|z+4| = 2|z-2|$

$z = x+yi$ とおくと、

$|x+yi+4| = 2|x+yi-2|$

$|(x+4)+yi| = 2|(x-2)+yi|$

$\sqrt{(x+4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

両辺を二乗すると、

$(x+4)^2 + y^2 = 4((x-2)^2 + y^2)$

$x^2 + 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$x^2 + 8x + 16 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$

$0 = 3x^2 - 24x + 3y^2$

$0 = x^2 - 8x + y^2$

$(x-4)^2 + y^2 = 16$

これは、中心が $4$ で半径が $4$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $-\frac{i}{2}$ 、半径 $2$ の円

(2) 中心 $1-2i$ 、半径 $2$ の円

(3) 中心 $4$ 、半径 $4$ の円