正の数 $a, b$ について、$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} < \frac{1}{32}$ ならば、$a, b$ の少なくとも一方は4より大きいことを証明せよ。

1. 問題の内容

正の数 $a, b$ について、$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} < \frac{1}{32}$ ならば、$a, b$ の少なくとも一方は4より大きいことを証明せよ。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。

$a, b$ の少なくとも一方は4より大きいという命題の否定は、$a \le 4$ かつ $b \le 4$ である。

したがって、$a \le 4$ かつ $b \le 4$ と仮定する。このとき、$a^3 \le 4^3 = 64$ かつ $b^3 \le 4^3 = 64$ である。

したがって、$\frac{1}{a^3} \ge \frac{1}{64}$ かつ $\frac{1}{b^3} \ge \frac{1}{64}$ である。

よって、

$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} \ge \frac{1}{64} + \frac{1}{64} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32}$

となる。

これは、$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} < \frac{1}{32}$ に矛盾する。

したがって、$a \le 4$ かつ $b \le 4$ という仮定は誤りであり、$a, b$ の少なくとも一方は4より大きい。

3. 最終的な答え

証明終了。