$a > 0$ のとき、$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^{\boxed{?}}$を満たす $\boxed{?}$ に入る数を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^{\boxed{?}}$を満たす $\boxed{?}$ に入る数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、累乗根を指数の形に変換します。

$\sqrt[3]{a^3} = (a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \times \frac{1}{3}} = a^1 = a$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[6]{a^5} = (a^5)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$

与えられた式を指数の形で書き換えると、

$a \times a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{5}{6}} = a^1 \times a^{\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{5}{6}}$

指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ と $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いて、

$a^{1 + \frac{1}{2} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{6}{6} + \frac{3}{6} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{6+3-5}{6}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}$

したがって、$a^{\frac{2}{3}} = a^{\boxed{?}}$ なので、$\boxed{?} = \frac{2}{3}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$