問題は、与えられた式 $\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[4]{a^3} = a^{\boxed{ア}}$ の空欄に当てはまる数を求めるものです。ただし、$a>0$ とします。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式 $\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[4]{a^3} = a^{\boxed{ア}}$ の空欄に当てはまる数を求めるものです。ただし、$a>0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、累乗根を指数の形に変換します。

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$

与えられた式に代入すると、

$a^{\frac{5}{6}} \times a^{\frac{2}{3}} \div a^{\frac{3}{4}} = a^{\boxed{ア}}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ と $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いると、

$a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4}} = a^{\boxed{ア}}$

指数の部分を計算します。通分すると、$\frac{5}{6} + \frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} + \frac{8}{12} - \frac{9}{12} = \frac{10+8-9}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

したがって、$a^{\frac{3}{4}} = a^{\boxed{ア}}$

よって、空欄に当てはまる数は $\frac{3}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$