放物線 $C: y = x^2 - ax - b$ があり、その頂点の座標が $(1, -4)$ である。まず、$a$ と $b$ の値を求める。次に、放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $k$ ($k$ は正の定数) だけ平行移動した放物線の方程式を $y = f(x)$ とする。$y = f(x)$ が原点を通るとき、$k$ の値を求める。その後、$t-1 \le x \le t+1$ ($t \ge 2$) における関数 $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M = 2$ のときの $t$ の値を求め、最後に $M - m = \frac{64}{9}$ のときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - ax - b$ があり、その頂点の座標が $(1, -4)$ である。まず、$a$ と $b$ の値を求める。次に、放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $k$ ($k$ は正の定数) だけ平行移動した放物線の方程式を $y = f(x)$ とする。$y = f(x)$ が原点を通るとき、$k$ の値を求める。その後、$t-1 \le x \le t+1$ ($t \ge 2$) における関数 $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M = 2$ のときの $t$ の値を求め、最後に $M - m = \frac{64}{9}$ のときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $C: y = x^2 - ax - b$ の頂点の座標が $(1, -4)$ であることから、$y = (x - 1)^2 - 4$ と表せる。展開すると、$y = x^2 - 2x - 3$。

したがって、$a = 2, b = 3$。

(2) 放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $k$ だけ平行移動した放物線の方程式は、$y = (x - k)^2 - 2(x - k) - 3$。

$y = x^2 - 2kx + k^2 - 2x + 2k - 3 = x^2 - (2k + 2)x + k^2 + 2k - 3$。

この放物線が原点を通ることから、$0 = 0^2 - (2k + 2)(0) + k^2 + 2k - 3$。

よって、$k^2 + 2k - 3 = 0$。$(k + 3)(k - 1) = 0$。$k > 0$ より、$k = 1$。

$f(x) = (x - 1)^2 - 4 = x^2 - 2x - 3$。

(i) $f(x) = (x - 1)^2 - 4$ の軸は $x = 1$ である。$t \ge 2$ より、区間 $[t - 1, t + 1]$ において、$x = t + 1$ のときに最大値をとる。

$M = f(t + 1) = ((t + 1) - 1)^2 - 4 = t^2 - 4 = 2$。

$t^2 = 6$。$t \ge 2$ より、$t = \sqrt{6}$。

(ii) $M - m = \frac{64}{9}$ のとき。軸 $x = 1$ に対して、$t - 1 \le x \le t + 1$ より、軸を含むかどうかで場合分けする。

$t - 1 \ge 1$, つまり $t \ge 2$ のとき、$f(x)$ の最小値 $m = -4$ (頂点)。最大値は $M = f(t - 1)$ または $M = f(t + 1)$ のいずれかになる。

$f(t + 1) - f(t - 1) = (t^2 - 4) - ((t - 2)^2 - 4) = t^2 - (t^2 - 4t + 4) = 4t - 4$。

$M = f(t+1), f(t+1)-m=\frac{64}{9}より、$ $t^2+4 = \frac{64}{9} -4 \rightarrow t^2+ 4= \frac{28}{9}$。

$t = \frac{64}{9} + (-4)$ となるので、$t^2 - (-4) = \frac{64}{9}$ と置く必要がある。

軸を含む場合、$f(1) = -4$ が最小値となる。$M - (-4) = \frac{64}{9}$。$M = \frac{64}{9} - 4 = \frac{64 - 36}{9} = \frac{28}{9}$。

$t$ について、$M = (t + 1 - 1)^2 - 4 = t^2 - 4 = \frac{28}{9}$ より、$t^2 = \frac{28}{9} + 4 = \frac{28 + 36}{9} = \frac{64}{9}$。$t = \frac{8}{3}$。

$t-1\leq1\leq t+1 \implies t\geq2$,

$\frac{8}{3} = 2.666... >2$, so this is valid.

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = 3$

(2) $k = 1$

(i) $t = \sqrt{6}$

(ii) $t = \frac{8}{3}$