$2^4 = 16$ であり、$3 \times 4 = 12$ です。 したがって、$2^4 > 3 \times 4$ が成立します。

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 問題1: $n$ が4以上の自然数のとき、不等式 $2^n > 3n$ を数学的帰納法を用いて証明してください。

* 問題2: $n$ が自然数のとき、$n^3 + 2n$ が3の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明してください。

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2. 解き方の手順

### 問題1: $2^n > 3n$ の証明 ($n \ge 4$)

1. **基本ケース:** $n=4$ のときを考えます。

$2^4 = 16$ であり、$3 \times 4 = 12$ です。

したがって、$2^4 > 3 \times 4$ が成立します。

2. **帰納法の仮定:** $n = k$ ($k \ge 4$) のとき、$2^k > 3k$ が成り立つと仮定します。

3. **帰納ステップ:** $n = k+1$ のとき、$2^{k+1} > 3(k+1)$ が成り立つことを示します。

$2^{k+1} = 2 \times 2^k > 2 \times 3k = 6k$ (帰納法の仮定より)

$6k > 3(k+1)$ を示すことができれば、証明完了です。

$6k > 3k + 3$

$3k > 3$

$k > 1$

$k \ge 4$ であるため、$k > 1$ は常に成立します。したがって、$6k > 3(k+1)$ が成り立ちます。

よって、$2^{k+1} > 3(k+1)$ が成立します。

4. **結論:** 数学的帰納法の原理より、$n \ge 4$ のすべての自然数 $n$ に対して、$2^n > 3n$ が成立します。

### 問題2: $n^3 + 2n$ が3の倍数であることの証明

1. **基本ケース:** $n=1$ のときを考えます。

$1^3 + 2(1) = 1 + 2 = 3$ であり、3は3の倍数です。

2. **帰納法の仮定:** $n = k$ のとき、$k^3 + 2k$ が3の倍数であると仮定します。

つまり、$k^3 + 2k = 3m$ (mは整数) と表せると仮定します。

3. **帰納ステップ:** $n = k+1$ のとき、$(k+1)^3 + 2(k+1)$ が3の倍数であることを示します。

$(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2$

$= (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3$

$= (k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1)$

帰納法の仮定より、$k^3 + 2k = 3m$ なので、

$(k+1)^3 + 2(k+1) = 3m + 3(k^2 + k + 1)$

$= 3(m + k^2 + k + 1)$

$m + k^2 + k + 1$ は整数であるため、$3(m + k^2 + k + 1)$ は3の倍数です。

よって、$(k+1)^3 + 2(k+1)$ は3の倍数です。

4. **結論:** 数学的帰納法の原理より、すべての自然数 $n$ に対して、$n^3 + 2n$ は3の倍数です。

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3. 最終的な答え

* 問題1: $n \ge 4$ のとき、$2^n > 3n$ が成り立つ。

* 問題2: すべての自然数 $n$ に対して、$n^3 + 2n$ は3の倍数である。