与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の7つの分数の分母を有理化します。 (1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{10}}$ (3) $\frac{2}{\sqrt{5}}$ (4) $\frac{1}{2\sqrt{7}}$ (5) $\frac{2}{\sqrt{2}}$ (6) $\frac{3}{\sqrt{3}}$ (7) $\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ (8) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の7つの分数の分母を有理化します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{10}}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{5}}$

(4) $\frac{1}{2\sqrt{7}}$

(5) $\frac{2}{\sqrt{2}}$

(6) $\frac{3}{\sqrt{3}}$

(7) $\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

(8) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

分母の有理化とは、分母に根号を含まない形に変形することです。分母と分子に適切な数を掛けることで実現します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$: 分母と分子に$\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{10}}$: 分母と分子に$\sqrt{10}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1 \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{5}}$: 分母と分子に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(4) $\frac{1}{2\sqrt{7}}$: 分母と分子に$\sqrt{7}$を掛けます。

$\frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{1 \times \sqrt{7}}{2\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{2 \times 7} = \frac{\sqrt{7}}{14}$

(5) $\frac{2}{\sqrt{2}}$: 分母と分子に$\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(6) $\frac{3}{\sqrt{3}}$: 分母と分子に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

(7) $\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$: 分母と分子に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{2} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{10}}{5} = 2\sqrt{10}$

(8) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$: 分母と分子に$\sqrt{6}$を掛けます。

$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(4) $\frac{\sqrt{7}}{14}$

(5) $\sqrt{2}$

(6) $\sqrt{3}$

(7) $2\sqrt{10}$

(8) $\frac{\sqrt{30}}{3}$