問題は$\sqrt{4-\sqrt{15}}$を簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は$\sqrt{4-\sqrt{15}}$を簡単にすることです。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a}-\sqrt{b}$の形に変形できると仮定します。

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$とおきます。両辺を2乗すると

$4-\sqrt{15} = a + b - 2\sqrt{ab}$

このとき、

$a+b = 4$

$4ab = 15$

$ab = \frac{15}{4}$

$a, b$は$x^2 - 4x + \frac{15}{4} = 0$の解になります。

この二次方程式を解くと

$4x^2 - 16x + 15 = 0$

$(2x - 5)(2x - 3) = 0$

$x = \frac{5}{2}, \frac{3}{2}$

したがって$a = \frac{5}{2}, b = \frac{3}{2}$とおけます。

$\sqrt{4 - \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$