定積分 $\int_{-1}^{3} (2x+1)(x-3) \, dx$ を計算し、結果を分数で表す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} (2x+1)(x-3) \, dx$ を計算し、結果を分数で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(2x+1)(x-3) = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$

次に、不定積分を計算します。

$\int (2x^2 - 5x - 3) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$

定積分を計算するために、積分区間の上限と下限を代入し、その差を求めます。

$\left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3x \right]_{-1}^{3} = \left( \frac{2}{3}(3)^3 - \frac{5}{2}(3)^2 - 3(3) \right) - \left( \frac{2}{3}(-1)^3 - \frac{5}{2}(-1)^2 - 3(-1) \right)$

$= \left( \frac{2}{3}(27) - \frac{5}{2}(9) - 9 \right) - \left( \frac{2}{3}(-1) - \frac{5}{2}(1) + 3 \right)$

$= \left( 18 - \frac{45}{2} - 9 \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 3 \right)$

$= \left( 9 - \frac{45}{2} \right) - \left( -\frac{4}{6} - \frac{15}{6} + \frac{18}{6} \right)$

$= \left( \frac{18}{2} - \frac{45}{2} \right) - \left( -\frac{1}{6} \right)$

$= -\frac{27}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{81}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{80}{6} = -\frac{40}{3}$

3. 最終的な答え

-40/3

(1): -40

(2): 3