関数 $y = (x-4)\sqrt{x}$ の極値を求めます。

## 問題 (1) $y = (x-4)\sqrt{x}$ の極値を求める

1. 問題の内容

関数 $y = (x-4)\sqrt{x}$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して導関数を求めます。

$y = (x-4)\sqrt{x} = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} = x^{3/2} - 4x^{1/2}$

$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

次に、$y' = 0$となる$x$を求めます。

$\frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

$\frac{3}{2}\sqrt{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

$\frac{3}{2}x = 2$

$x = \frac{4}{3}$

次に、$y''$ を計算し、$x = \frac{4}{3}$ における$y''$ の符号を調べます。

$y'' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{3}{4\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{3}{4\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{3/2}}$

$y''(\frac{4}{3}) = \frac{3}{4\sqrt{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{(\frac{4}{3})^{3/2}} = \frac{3}{4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}} + \frac{1}{\frac{8}{3\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{6\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4} > 0$

$y''(\frac{4}{3}) > 0$ なので、$x = \frac{4}{3}$ で極小値を持ちます。

極小値は $y(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3} - 4)\sqrt{\frac{4}{3}} = (\frac{4}{3} - \frac{12}{3}) \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = (-\frac{8}{3}) \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{16}{3\sqrt{3}} = -\frac{16\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{4}{3}$ で極小値 $-\frac{16\sqrt{3}}{9}$ をとる。