$\sqrt{11 - \sqrt{72}}$ を計算して簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{11 - \sqrt{72}}$ を計算して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{72}$ を簡単にします。

$72 = 36 \times 2 = 6^2 \times 2$ なので、$\sqrt{72} = \sqrt{6^2 \times 2} = 6\sqrt{2}$ となります。

次に、$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ を簡単にすることを考えます。

$\sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形に変形できると仮定します。つまり、

$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

両辺を2乗すると、

$11 - 6\sqrt{2} = a + b - 2\sqrt{ab}$

よって、

$a + b = 11$

$ab = 18$

この2つの式を満たす $a$ と $b$ を見つけます。

$b = 11 - a$ を $ab = 18$ に代入すると、

$a(11-a) = 18$

$11a - a^2 = 18$

$a^2 - 11a + 18 = 0$

$(a - 2)(a - 9) = 0$

$a = 2$ または $a = 9$

$a = 2$ のとき $b = 11 - 2 = 9$

$a = 9$ のとき $b = 11 - 9 = 2$

$a > b$ となるように選ぶと、$a = 9$, $b = 2$ となります。

したがって、$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{2}$