問題は、次の2つの数列の和を求めることです。 (1) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 20^2$ (2) $11^2 + 12^2 + 13^2 + \dots + 20^2$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの数列の和を求めることです。

(1) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 20^2$

(2) $11^2 + 12^2 + 13^2 + \dots + 20^2$

2. 解き方の手順

(1) まず、$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$ の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

この公式を用いて、$n=20$ の場合を計算します。

$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2 \times 20+1)}{6}$

(2) $11^2 + 12^2 + 13^2 + \dots + 20^2$ の和を求めるためには、まず $1^2 + 2^2 + \dots + 20^2$ の和を計算し、そこから $1^2 + 2^2 + \dots + 10^2$ の和を引きます。

$\sum_{k=11}^{20} k^2 = \sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{10} k^2$

$\sum_{k=1}^{20} k^2$ は(1)で計算済みなので、$\sum_{k=1}^{10} k^2$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2 \times 10+1)}{6}$

次に、これらの値を代入して計算します。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(21)(41)}{6} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870$

(2) $\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(11)(21)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$

$\sum_{k=11}^{20} k^2 = \sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{10} k^2 = 2870 - 385 = 2485$

(1) 2870

(2) 2485