2つの直線 $y = 2x + 6$ (直線①) と $y = -x + 9$ (直線②) があり、以下の問いに答えます。 (1) 直線①と直線②の交点Aの座標を求めます。 (2) x軸と直線①との交点をB、x軸と直線②との交点をCとしたとき、線分BCの長さを求めます。 (3) 三角形ABCの面積を求めます。 (4) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = 2x + 6$ (直線①) と $y = -x + 9$ (直線②) があり、以下の問いに答えます。

(1) 直線①と直線②の交点Aの座標を求めます。

(2) x軸と直線①との交点をB、x軸と直線②との交点をCとしたとき、線分BCの長さを求めます。

(3) 三角形ABCの面積を求めます。

(4) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 交点Aの座標

2つの直線の式を連立させて解きます。

$y = 2x + 6$

$y = -x + 9$

連立方程式を解くために、$y$ を消去します。

$2x + 6 = -x + 9$

$3x = 3$

$x = 1$

$y = 2(1) + 6 = 8$

したがって、交点Aの座標は $(1, 8)$ です。

(2) 線分BCの長さ

直線①とx軸との交点Bを求めます。$y = 0$ を $y = 2x + 6$ に代入します。

$0 = 2x + 6$

$2x = -6$

$x = -3$

したがって、点Bの座標は $(-3, 0)$ です。

直線②とx軸との交点Cを求めます。$y = 0$ を $y = -x + 9$ に代入します。

$0 = -x + 9$

$x = 9$

したがって、点Cの座標は $(9, 0)$ です。

線分BCの長さは、点Bと点Cのx座標の差の絶対値です。

$BC = |9 - (-3)| = |9 + 3| = 12$

(3) 三角形ABCの面積

点Aのy座標は8なので、三角形ABCの高さは8です。

底辺BCの長さは12です。

したがって、三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$

(4) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式

三角形ABCの面積を2等分する直線は、BCの中点を通ります。

BCの中点Mの座標は、

$M = (\frac{-3 + 9}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (\frac{6}{2}, 0) = (3, 0)$

点A $(1, 8)$ と点M $(3, 0)$ を通る直線の式を求めます。

傾きは、$\frac{8 - 0}{1 - 3} = \frac{8}{-2} = -4$

$y = -4x + b$ とおき、点M $(3, 0)$ を代入します。

$0 = -4(3) + b$

$b = 12$

したがって、求める直線の式は $y = -4x + 12$ です。

3. 最終的な答え

(1) A (1, 8)

(2) 12

(3) 48

(4) $y = -4x + 12$