円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 48^\circ$, $\angle BOC = 110^\circ$であるとき、$\angle BDC = x$ と $\angle BCD = y$ を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 48^\circ$, $\angle BOC = 110^\circ$であるとき、$\angle BDC = x$ と $\angle BCD = y$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC$ が成り立つので、$x = 48^\circ$ である。

次に、$\angle BOC$ は中心角であり、$\angle BAC$ は円周角であるため、$\angle BOC = 2\angle BAC$ が成り立つ。しかし、$\angle BOC=110^\circ$ 、$\angle BAC = 48^\circ$ なので、$110^\circ \ne 2\times 48^\circ = 96^\circ$ となり、この関係は成り立たない。$\angle BAC$に対する中心角は、$\angle BOC$ではなく、$\angle BDC$に対する中心角が$\angle BOC$である。

円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC = 48^\circ$。

$\triangle OBC$において、$OB=OC$ (半径)なので、$\triangle OBC$は二等辺三角形である。

よって、$\angle OBC = \angle OCB$ であり、$\angle BOC = 110^\circ$ なので、

$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$

四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は180度である。つまり、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$。

ここで、$\angle BAD = \angle BAO + \angle OAD$ である。また、$\angle BCD = y$。

$\angle BAD$ は求まっていないので、他の方法を考える。

$\angle ABD = \angle ACD$ (円周角の定理)

$\angle DBC = \angle DAC$ (円周角の定理)

$\angle ABC = \angle AOC/2$ではない。$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle ADC = x = 48^\circ$ なので、$\angle ABC = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$ であり、$\angle OBC = 35^\circ$ なので、

$\angle ABO = \angle ABC - \angle OBC = 132^\circ - 35^\circ = 97^\circ$

$\triangle BCD$に着目すると、$\angle BDC + \angle BCD + \angle DBC = 180^\circ$

$48^\circ + y + \angle DBC = 180^\circ$

$\angle DAC = \angle DBC$ であり、$\angle DAO = \angle ABO = 97^\circ$ (OA=OBより)なので、$\angle DAC$はまだわからない。

四角形の内角の和は360度なので、$\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ$

$\angle BAD + 132^\circ + y + 48^\circ = 360^\circ$

$\angle BAD + y = 360^\circ - 132^\circ - 48^\circ = 180^\circ$

$y = 180^\circ - \angle BAD$

$\angle BAC = 48^\circ$ なので、$\angle CAD = \angle BAD - 48^\circ$

$\angle CBD = \angle CAD = \angle BAD - 48^\circ$

$\triangle BCD$において、$48^\circ + y + (\angle BAD - 48^\circ) = 180^\circ$

$y + \angle BAD = 180^\circ$

$\angle BOD = 2y$

$360 - 110 = 250/2 = 125$

$y = 125$

$48 + 125 + \angle DBC = 180$

$\angle DBC = 7$

錯覚だった。

$x = 48$

$y = 180 - (48+ \angle DBC)$

円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC = x = 48^\circ$

$\triangle OBC$ において $OB = OC$ より $\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = 35^\circ$

円周角の定理より、$\angle CBD = \angle CAD$

$\angle BAD = 48^\circ + \angle CAD$

四角形$ABCD$の内角の和は$360^\circ$なので、

$\angle BAD + \angle BCD + \angle CDA + \angle ABC = 360^\circ$

$48^\circ + \angle CAD + y + 48^\circ + 35^\circ + \angle ABO = 360^\circ$

向かい合う角を考えると、$\angle CDA + \angle ABC = 180^\circ$

$48^\circ + 35^\circ + \angle ABO = 180^\circ$

$\angle ABO = 97^\circ$

$\angle ABO = \angle DAO = 97^\circ$

$\angle BAD = 97 + 48 = 145$

145 + y = 180

$x + y + \angle DBC = 180$

$48 + y + \angle CAD = 180$

$48 + y + 145-48 = 180$

$97+48 + 35 = 180$

$x = 48$

$y + (48+\angle CAD)= 180$

48+(145-48)= 180

$\angle A + \angle C = 180$

$\angle B + \angle D = 180$

$48 = x = \angle BDC$

$y = \angle BCD$

$x = 48$

$y = 35 + \theta$

$\angle BDA = 97 - 48$

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3. 最終的な答え

$x = 48^\circ$

$y = 62^\circ$