行列 $A$, $B$, $C$, $D$ が与えられています。 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -2 & 5 & -3 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & -1 & 4 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -5 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 1 & 5 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ 次の行列の計算が可能かどうか判断し、可能であれば計算結果を、不可能であれば $\times$ 印を記入します。 (1) $A + B$ (2) $A + C$ (3) $A B$ (4) $B C$ (5) $D A$ (6) $C + D$

1. 問題の内容

行列 $A$, $B$, $C$, $D$ が与えられています。

$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -2 & 5 & -3 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & -1 & 4 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -5 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 1 & 5 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$

次の行列の計算が可能かどうか判断し、可能であれば計算結果を、不可能であれば $\times$ 印を記入します。

(1) $A + B$

(2) $A + C$

(3) $A B$

(4) $B C$

(5) $D A$

(6) $C + D$

2. 解き方の手順

(1) $A + B$: 行列の和は、行列のサイズが同じ場合に計算可能です。$A$ と $B$ はどちらも $2 \times 3$ 行列なので、計算可能です。

$A + B = \begin{bmatrix} 2+1 & -1-5 & 4+0 \\ -2-2 & 5-1 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 & 4 \\ -4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $A + C$: 行列の和は、行列のサイズが同じ場合に計算可能です。$A$ は $2 \times 3$ 行列、$C$ は $3 \times 2$ 行列なので、サイズが異なり計算不可能です。

(3) $A B$: 行列の積 $AB$ が計算可能であるためには、$A$ の列数と $B$ の行数が一致する必要があります。$A$ は $2 \times 3$ 行列、$B$ は $2 \times 3$ 行列なので、$A$ の列数（3）と $B$ の行数（2）が異なり計算不可能です。

(4) $B C$: 行列の積 $BC$ が計算可能であるためには、$B$ の列数と $C$ の行数が一致する必要があります。$B$ は $2 \times 3$ 行列、$C$ は $3 \times 2$ 行列なので、$B$ の列数（3）と $C$ の行数（3）が一致し計算可能です。

$BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -2 & -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -5 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 3 + (-5) \cdot (-5) + 0 \cdot 2 & 1 \cdot (-4) + (-5) \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ -2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-5) + 4 \cdot 2 & -2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 4 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 25 + 0 & -4 - 5 + 0 \\ -6 + 5 + 8 & 8 - 1 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 28 & -9 \\ 7 & 15 \end{bmatrix}$

(5) $D A$: 行列の積 $DA$ が計算可能であるためには、$D$ の列数と $A$ の行数が一致する必要があります。$D$ は $3 \times 2$ 行列、$A$ は $2 \times 3$ 行列なので、$D$ の列数（2）と $A$ の行数（2）が一致し計算可能です。

$DA = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 1 & 5 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -2 & 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) & -4 \cdot (-1) + 0 \cdot 5 & -4 \cdot 4 + 0 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 2 + 5 \cdot (-2) & 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 5 & 1 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) \\ 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-2) & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 5 & 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 + 0 & 4 + 0 & -16 + 0 \\ 2 - 10 & -1 + 25 & 4 - 15 \\ 4 + 2 & -2 - 5 & 8 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & 4 & -16 \\ -8 & 24 & -11 \\ 6 & -7 & 11 \end{bmatrix}$

(6) $C + D$: 行列の和は、行列のサイズが同じ場合に計算可能です。$C$ と $D$ はどちらも $3 \times 2$ 行列なので、計算可能です。

$C + D = \begin{bmatrix} 3-4 & -4+0 \\ -5+1 & 1+5 \\ 2+2 & 2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ -4 & 6 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = \begin{bmatrix} 3 & -6 & 4 \\ -4 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $A + C = \times$

(3) $A B = \times$

(4) $B C = \begin{bmatrix} 28 & -9 \\ 7 & 15 \end{bmatrix}$

(5) $D A = \begin{bmatrix} -8 & 4 & -16 \\ -8 & 24 & -11 \\ 6 & -7 & 11 \end{bmatrix}$

(6) $C + D = \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ -4 & 6 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$