与えられた行列が対称行列となるように、実数 $a, b, c$ の値を求めよ。 与えられた行列は $\begin{bmatrix} -7 & -6a-3c-2 & 7b+5 \\ -2a-5c-46 & -6 & -6a+c+2 \\ 4b+11 & -3a+5c-9 & -2 \end{bmatrix}$ である。

1. 問題の内容

与えられた行列が対称行列となるように、実数 $a, b, c$ の値を求めよ。

与えられた行列は

$\begin{bmatrix}

-7 & -6a-3c-2 & 7b+5 \\

-2a-5c-46 & -6 & -6a+c+2 \\

4b+11 & -3a+5c-9 & -2

\end{bmatrix}$

である。

2. 解き方の手順

行列が対称行列であるためには、対角成分を軸として対称な位置にある要素が互いに等しい必要がある。つまり、$A = A^T$ を満たす必要がある。したがって、以下の連立方程式が成り立つ。

* $(-6a-3c-2) = (-2a-5c-46)$

* $(7b+5) = (4b+11)$

* $(-6a+c+2) = (-3a+5c-9)$

これらの式を整理して解く。

まず、2番目の式から $b$ を求める。

$7b+5 = 4b+11$

$3b = 6$

$b = 2$

次に、1番目の式を整理する。

$-6a-3c-2 = -2a-5c-46$

$-4a+2c = -44$

$-2a+c = -22$ ...(1)

3番目の式を整理する。

$-6a+c+2 = -3a+5c-9$

$-3a-4c = -11$ ...(2)

(1)式より、$c = 2a - 22$ となる。これを(2)式に代入する。

$-3a-4(2a-22) = -11$

$-3a - 8a + 88 = -11$

$-11a = -99$

$a = 9$

$c = 2a - 22$ に $a=9$ を代入する。

$c = 2(9) - 22 = 18 - 22 = -4$

したがって、$a=9$, $b=2$, $c=-4$ である。

3. 最終的な答え

$a = 9$

$b = 2$

$c = -4$