与えられた多項式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2)$

次に、定数項である $3y^2 - 5y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 - 5y - 2 = (3y + 1)(y - 2)$

よって、$2x^2 + (5y - 3)x + (3y + 1)(y - 2)$ となります。

これを $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定します。

$2x^2$ の項があることから、$a$ と $d$ は $a \times d = 2$ を満たす必要があります。

$(3y + 1)(y - 2)$ の項があることから、$b$ と $e$ は $b \times e = 3$ を満たす必要があります。

定数項は $c \times f = -2$ を満たす必要があります。

これらの情報を元に、試行錯誤することで、以下の因数分解が見つかります。

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2) = (2x + y - 2)(x + 3y + 1)$

展開して確認してみます。

$(2x + y - 2)(x + 3y + 1) = 2x^2 + 6xy + 2x + xy + 3y^2 + y - 2x - 6y - 2 = 2x^2 + 7xy + 3y^2 - 5y - 2$

係数が異なるので、別の組み合わせを試します。

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2) = (2x + 3y + 1)(x + y - 2)$

展開して確認してみます。

$(2x + 3y + 1)(x + y - 2) = 2x^2 + 2xy - 4x + 3xy + 3y^2 - 6y + x + y - 2 = 2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$

これで元の多項式と一致しました。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(x + y - 2)$