全体集合 $U$ を200以下の自然数全体の集合、$A$ を $U$ の部分集合で5の倍数全体の集合、$B$ を $U$ の部分集合で4で割ると2余る数全体の集合とする。このとき、$A$ の要素の個数 $n(A)$ と、$B$ の要素の個数 $n(B)$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を200以下の自然数全体の集合、$A$ を $U$ の部分集合で5の倍数全体の集合、$B$ を $U$ の部分集合で4で割ると2余る数全体の集合とする。このとき、$A$ の要素の個数 $n(A)$ と、$B$ の要素の個数 $n(B)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$ について

$A$ は5の倍数なので、$A = \{5, 10, 15, ..., 200\}$ となる。

$A$ の要素の個数は、200の中に5の倍数がいくつあるかを求めればよいので、

$200 \div 5 = 40$

よって、$n(A) = 40$

(2) $n(B)$ について

$B$ は4で割ると2余る数なので、$B = \{2, 6, 10, ..., 198\}$ となる。

$B$ の要素は、$4k+2$ （$k$ は整数）と表すことができる。ここで、$4k+2 \leq 200$ を満たす $k$ の最大値を求める。

$4k \leq 198$

$k \leq \frac{198}{4} = 49.5$

$k$ は整数なので、$k$ の最大値は49となる。

$k$ は0から49までの整数をとるので、$B$ の要素の個数は50個である。

よって、$n(B) = 50$

3. 最終的な答え

$n(A) = 40$

$n(B) = 50$