$\theta$は鋭角で、$\cos \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角で、$\cos \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\theta$は鋭角なので、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$であり、$\sin \theta > 0$、$\tan \theta > 0$であることに注意します。

三角比の相互関係から、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + (\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$は鋭角なので、$\sin \theta > 0$であるから、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$となります。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用します。

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{3}{1} = 2\sqrt{2}$

したがって、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$、$\tan \theta = 2\sqrt{2}$です。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$、$\tan \theta = 2\sqrt{2}$

選択肢2が正解です。