集合$A = \{x | x^2 + (a - 2)x + 4 - 2a > 0\}$と$B = \{x | x^2 - 5kx + 6k^2 \leq 0\}$について、以下の問いに答えます。 (1) $a = 3$のとき、$B \subset A$となるような$k$の値の範囲を求めます。 (2) $a = 3$のとき、$A \cap B = \emptyset$となるような$k$の値の範囲を求めます。 (3) $A$が実数全体の集合となるような$a$の値の範囲を求めます。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

集合$A = \{x | x^2 + (a - 2)x + 4 - 2a > 0\}$と$B = \{x | x^2 - 5kx + 6k^2 \leq 0\}$について、以下の問いに答えます。

(1) $a = 3$のとき、$B \subset A$となるような$k$の値の範囲を求めます。

(2) $a = 3$のとき、$A \cap B = \emptyset$となるような$k$の値の範囲を求めます。

(3) $A$が実数全体の集合となるような$a$の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = 3$のとき、$A = \{x | x^2 + x - 2 > 0\}$となります。これは$(x + 2)(x - 1) > 0$と因数分解できるので、$x < -2$または$x > 1$です。

また、$B = \{x | x^2 - 5kx + 6k^2 \leq 0\}$は$(x - 2k)(x - 3k) \leq 0$と因数分解できます。よって、$2k \leq x \leq 3k$です。

$B \subset A$となるためには、$2k > 1$または$3k < -2$である必要があります。

$2k > 1$より、$k > \frac{1}{2}$です。

$3k < -2$より、$k < -\frac{2}{3}$です。

$2k = 3k$の場合、$k = 0$となり、$B$は空集合になるため、$B \subset A$を満たします。

(2) $A \cap B = \emptyset$となるためには、$2k < -2$または$3k > 1$である必要があります。

$2k < -2$より、$k < -1$です。

$3k > 1$より、$k > \frac{1}{3}$です。

また、$2k = 3k$の場合、$k = 0$となり、$B$は空集合になるため、$A \cap B = \emptyset$を満たします。

(3) $A$が実数全体の集合となるためには、$x^2 + (a - 2)x + 4 - 2a > 0$が全ての実数$x$に対して成り立つ必要があります。これは、$x^2 + (a - 2)x + 4 - 2a = 0$の判別式$D$が負であれば良いです。

$D = (a - 2)^2 - 4(4 - 2a) = a^2 - 4a + 4 - 16 + 8a = a^2 + 4a - 12 < 0$

$(a + 6)(a - 2) < 0$

よって、$-6 < a < 2$です。

3. 最終的な答え

(1) $k < -\frac{2}{3}$, $k = 0$, $k > \frac{1}{2}$

(2) $k < -1$, $k = 0$, $k > \frac{1}{3}$

(3) $-6 < a < 2$